5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象(二)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象(二) 学习目标　1.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 一、y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系 问题1　根据上节课所学，你能由函数y＝sin x经过平移变换、伸缩变换变换成函数y＝Asin(ωx＋φ)吗？ 提示　可以，一般地，先把函数y＝sin x的图象向左或向右平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)． 问题2　在函数的变换过程中，一定是先平移再伸缩吗？如果能先伸缩，那么平移的单位长度一样吗？ 提示　平移变换与伸缩变换没有先后顺序，但是两种变换下的平移的单位长度不一样，先伸缩时的平移的单位长度为. 知识梳理 由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图． 注意点： (1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响． (2)若相应变换的函数名称不同，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩． 例1　由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度． 答案　　 解析　y＝3sin x y＝3siny＝3sin. y＝3sin x y＝3sin x y＝3sin ＝3sin. 反思感悟　先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的关键． 跟踪训练1　将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝Asin x的图象，试求ω和φ的值． 解　将函数y＝Asin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝Asin的图象，再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝Asin的图象，即为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象， 所以f(x)＝Asin， 所以ω＝，φ＝. 二、“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 问题3　用“五点法”作函数y＝sin x的图象时，找哪五个关键点？ 提示　(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 例2　(教材237页例1改编)用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的简图． 解　令X＝3x＋，则x＝，列表如下： X 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 描点连线，画图如下． 延伸探究　本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？ 解　因为x∈，所以3x＋∈， 列表如下： 3x＋ π 2π x 0 y 1 2 0 －2 0 1 描点连线，画图如下． 反思感悟　“五点法”作图的实质 (1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． (2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． (3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值． 跟踪训练2　已知函数y＝sin，x∈R. (1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图； (2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解　(1)列表： 2x＋ 0 π 2π x － y＝sin 0 0 － 0 描点、连线，如图所示． (2)将函数y＝sin x的图象先向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象． 1．知识清单： (1)平移变换． (2)伸缩变换． (3)图象的画法． 2．方法归纳：五点法、数形结合法． 3．常见误区：忽视先平移和先伸缩作图时平移的量不一样． 1．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象