5.6 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象(一) 学习目标　1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响.2.会利用图象的变换解决简单的问题．　　　　　　　　　　　　　　　　 导语 如图是观缆车的示意图，设缆车转轮半径长为A，角速度为ω rad/s.点P0表示座椅的初始位置．此时∠xOP0＝φ.当转轮转动t s后，点P0到达点P的位置，于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，由正弦函数的定义，得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y＝Asin(ωt＋φ)． 这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？ 一、φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 问题1　你能在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝sin的函数图象吗？ 提示　我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段AB的长度保持不变．可以发现，y＝sin的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上的点的横坐标加，这说明y＝sin的图象可以看作是把正弦函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的． 知识梳理 φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 例1　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的． 延伸探究 1．函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sin的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　函数y＝sin x的图象，可以看作是由y＝sin上所有的点向左平移个单位长度而得到的． 2．函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　因为y＝sin＝sin，故是由y＝sin(－x)的图象向右平移个单位长度得到的． 3．求函数y＝sin 2x向右平移个单位长度后的函数解析式． 解　函数y＝sin 2x向右平移个单位长度可得y＝sin 2，即y＝sin. 4．由函数y＝sin的图象经过怎么样的变换，可以得到y＝cos x的图象？ 解　因为y＝sin＝cos＝cos＝cos，故只需将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x的图象． 反思感悟　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度． 跟踪训练1　(1)要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　C 解析　因为y＝sin＝sin 2， 所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度， 就可得到函数y＝sin 2＝sin的图象． (2)为了得到y＝sin的图象只需将函数y＝cos x的图象________________而得到． 答案　向右平移个单位长度 解析　y＝sin＝cos ＝cos＝cos， 只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即可得到y＝sin的图象． 二、ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 问题2　观察下图，你能发现什么？ 提示　由图象我们可以看到，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sin x的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝sin x的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的． 问题3　借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sin和y＝sin的函数图象如图所示，结合问题2，你能得到什么？ 提示　可以发现，对于同一个y值，y＝sin的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin的图象上的点的横坐标的，这说明y＝sin的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的． 知识梳理 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 例2　为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的(　　) A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案　B 解析　ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 反思感悟　在研究 ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到y＝sin(ωx＋φ)． 跟踪训练