5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏

第2课时　简单的三角恒等变换(二) 学习目标　1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题． 导语 同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin x＋cos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧． 一、三角恒等变换与三角函数 问题1　请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x± cos x，cos x±sin x. 提示　sin x±cos x＝sin，sin x±cos x＝2sin，cos x±sin x＝2sin. 问题2　一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？ 提示　第一步：提常数，提出， 得到； 第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ＝，sin φ＝， 得到(cos φsin x＋sin φcos x)； 第三步：化简、逆用公式得asin x＋bcos x ＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 知识梳理 辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ). 注意点： (1)该函数的最大值为，最小值为－. (2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－φ)． 例1　已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合． 解　(1)f(x)＝ ＝cos2x－sin2x ＝－ ＝cos 2x－， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x ＝cos， 当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值， 此时x的取值集合为. 反思感悟　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝sin(x＋φ)或y＝cos(x－φ)的形式，以便研究函数的性质． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 解　(1)由已知，得f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为x∈， 所以2x－∈， 所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且f ＝－，f ＝－，f ＝， 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. 二、三角恒等变换在几何中的应用 例2　(教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)． 解　如图，连接OC， 设∠COB＝θ， 则0°<θ<45°，OC＝1. 因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， 所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝cos(2θ－45°)－. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S(矩形ABCD)max＝(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 反思感悟　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想． 跟踪训练2　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？ 解　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l， 则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α， 所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α ＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R. 因为0<α<，所以<α＋<， 所以当α＋＝，即α＝时，l的最大值为R＋R＝(＋1)R，故当α＝时，△OAB的周长最长． 三、三角恒等变换在实际问题中的应用 例3　如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路