5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏

5.5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换(一) 学习目标　1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明． 导语 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切，它们都属于三角变换．对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换． 一、半角公式 问题1　余弦的二倍角展开有几种形式？请写出． 提示　三种形式：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 知识梳理 半角公式 sin ＝±， cos  ＝±， tan ＝±. 注意点： 半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号． 例1　已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值． 解　∵π<α<，sin α＝－， ∴cos α＝－，且<<， ∴sin ＝＝， cos ＝－＝－， tan ＝＝－2. 反思感悟　利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 跟踪训练1　已知sin α＝－，则tan ＝______. 答案　－或－2 解析　因为sin α＝－，所以cos α＝±. 若cos α＝，则tan ＝＝＝－； 若cos α＝－，则tan ＝＝＝－2. 二、和差化积、积化和差 问题2　请写出两角和、差的正弦、余弦公式． 提示　sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 知识梳理 1．积化和差 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]； cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2．和差化积 sin θ＋sin φ＝2sin cos ； sin θ－sin φ＝2cos sin ； cos θ＋cos φ＝2cos cos ； cos θ－cos φ＝－2sin sin . 例2　求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值． 解　方法一　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50° ＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin(－30°)] ＝＋(cos 100°－cos 40°＋sin 70°) ＝＋(－2sin 70°sin 30°＋sin 70°) ＝＋(－sin 70°＋sin 70°) ＝. 方法二　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50° ＝(1－cos 40°)＋cos 50°(cos 50°＋sin 20°) ＝(1－cos 40°)＋cos 50°(sin 40°＋sin 20°) ＝(1－cos 40°)＋cos 50°·2sin 30°cos 10° ＝(1－cos 40°)＋cos 50°cos 10° ＝(1－cos 40°)＋(cos 60°＋cos 40°) ＝. 方法三　令A＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°， B＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°. 则A＋B＝2＋sin 70°， A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°) ＝－sin 70°－， 两式相加得2A＝，即A＝， 故sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝. 反思感悟　积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把