5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标　1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 导语 同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系． 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 问题1　请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式． 提示　sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； tan(α＋β)＝. 问题2　当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示　sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan 2α＝tan(α＋α)＝. 知识梳理 1．二倍角的正弦公式 sin 2α＝2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α. 2．二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记作C2α. 3．二倍角的正切公式 tan 2α＝，简记作T2α. 注意点： (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去． (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想． (3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z)． (4)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)； 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； 降幂公式：sin αcos α＝sin 2α；cos2α＝；sin2α＝. 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α. 例1　求下列各式的值： (1)sin2－cos2； (2)； (3)cos 20°·cos 40°·cos 80°. 解　(1)原式＝－＝－cos ＝－cos＝cos ＝. (2)原式＝＝2× ＝2×＝2. (3)原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝. 反思感悟　对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)sin cos ； (2)； (3)cos4－sin4. 解　(1)原式＝×2sin cos ＝×sin ＝. (2)原式＝×＝×tan 45°＝. (3)原式＝ ＝cos2－sin2 ＝cos ＝. 二、给值求值 例2　(教材221页例5改编)已知cos ＝，0<α<2π，求sin ，cos ，tan 的值． 解　由0<α<2π，得0<<，所以sin ＝， 所以sin ＝2sin cos ＝2××＝； cos ＝cos2－sin2＝2－2＝－； tan ＝＝＝－. 反思感悟　解决给值求值问题的方法 (1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： ①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； ②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x＝cos＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2. ②cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos. 跟踪训练2　已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝. (1)求的值； (2)求的值． 解　由sin θ＋cos θ＝，① 两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0， ∵θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0， sin θ－cos θ＝＝＝，② 由①②得sin θ＝，cos θ＝－. (1) ＝ ＝＝. (2)＝＝＝2sin θcos θ＝－. 三、倍角公式的综合运用 例3　已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cos Bsin2＋cos 2B－2cos B. (1)若f