5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁

第3课时　两角和与差的正切公式 学习目标　 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用． 导语 同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”． 一、两角和与差的正切公式 问题1　请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式． 提示　cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 问题2　同角三角函数中的商数关系是什么？ 提示　＝tan α. 问题3　你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示　tan(α＋β)＝ ＝. 用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β)． 知识梳理 1．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α＋β)． 2．两角差的正切公式 tan(α－β) ＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α－β)． 注意点： (1)只有当α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立． (2)公式的符号变化简记为：“分子同，分母反”． 例1　(1)tan 255°等于(　　) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ 答案　D 解析　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75° ＝tan(45°＋30°)＝ ＝＝2＋. (2)化简等于(　　) A. B. C．3 D．1 答案　B 解析　＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 反思感悟　利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． 跟踪训练1　化简求值： (1)； (2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 解　(1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－. (2)∵tan 60°＝＝， ∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. 二、给值求值(角) 问题4　根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？ 提示　T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan αtan β＝1－. T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)； tan αtan β＝－1. 例2　已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　A 解析　因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－，即tan α＝－. 因为tan(π－β)＝－tan β，故tan β＝－. 所以tan(α－β)＝ ＝＝－. 延伸探究　若本例条件不变，求tan(α＋β)的值． 解　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－， tan α＝－，又tan β＝－， 所以tan(α＋β)＝ ＝＝－2. 反思感悟　(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 跟踪训练2　如图，在平面直角坐标系Oxy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 求：(1)tan(α＋β)的值； (2)α＋2β的大小． 解　(1)由条件得cos α＝，cos β＝. ∵α，β为锐角，∴sin α＝＝， sin β＝＝. 因此tan α＝＝7， tan β＝＝. ∴tan(α＋β)＝ ＝＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋