5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新

第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式 学习目标　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法． 导语 同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、余弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展． 一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 问题1　请同学们写出两角差的余弦公式． 提示　cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 问题2　试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 提示　我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开．即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos α·cos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式． 知识梳理 1．两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)． 2．两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)． 注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． (2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序． 例1　(1)的值是(　　) A. B. C．1 D. 答案　A 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝＝. (2)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　方法一　原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°) ＝－cos 60°＝－. 方法二　原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40° ＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40° ＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－. 反思感悟　探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式． 跟踪训练1　＝ . 答案　 解析　 ＝ ＝ ＝ ＝sin 30°＝. 二、给值求值 例2　(教材218页例3改编)已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)的值． 解　因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－， 所以cos α＝，sin β＝， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×＋×＝. 延伸探究 1．若本例条件不变，求sin(α－β)的值． 解　因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝， sin β＝， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝－. 2．若本例条件不变，求cos(α＋β)的值． 解　由以上可知cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝－. 反思感悟　给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 跟踪训练2　已知<β<α<，cos(α