5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 学习目标　1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.2.掌握两角差的余弦公式的应用． 导语 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式． 一、两角差的余弦公式 问题1　已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标． 提示　P(cos α，sin α)． 问题2　观察下图，并阅读教材P215以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论？ 提示　A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α，sin α)．连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1. 问题3　你还记得初中所学两点间的距离公式吗？ 提示　平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝， 由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2. 知识梳理 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α－β)． 注意点： (1)该公式对任意角都能成立． (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和． (3)公式的逆用仍然成立． 例1　(1)cos 15°的值是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝. (2)求下列各式的值： ①cos cos ＋cos sin ； ②cos 105°＋sin 105°. 解　①原式＝cos cos ＋cossin  ＝cos cos ＋sin sin  ＝cos＝cos ＝. ②原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° ＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝. 反思感悟　两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°； (3)sin ＋cos . 解　(1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. (3)原式＝2 ＝2 ＝2cos＝2cos ＝. 二、给值求值 问题4　正弦、余弦、正切在每个象限内的符号如何？ 提示　正弦在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦在一、四象限为正，二、三象限为负；正切在一、三象限为正，二、四象限为负． 例2　(1)已知sin＝，则cos α＋sin α的值为(　　) A．－ B. C．2 D．－1 答案　B 解析　cos α＋sin α＝2 ＝2 ＝2cos＝2sin ＝2sin＝. (2)已知sin＝，且<α<，则cos α＝ . 答案　 解析　因为sin＝，且<α<， 所以<α＋<π， 所以cos＝－＝－， 所以cos α＝cos ＝coscos ＋sinsin  ＝－×＋×＝. 反思感悟　给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α＋β)－β； ②β＝－； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． 跟踪训练2　已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值． 解　因为α，β∈， 所以0<α＋β<π， 由cos(α＋β)＝－， 得sin(α＋β)＝， 又sin α＝，