5.4.3 正切函数的性质与图象-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.4.3　正切函数的性质与图象 学习目标　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题． 导语 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究．请同学们思考学案上的几个问题． 一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性 问题1　请同学们回忆角的正切是如何定义的？ 提示　＝tan α. 问题2　由以上，你能定义正切函数吗？ 提示　y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z. 问题3　你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？ 提示　tan(π＋α)＝tan α，tan(－α)＝－tan α. 知识梳理 1．周期性：由诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函数是周期函数，周期是π. 2．奇偶性：由诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函数是奇函数． 注意点： 注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式为：T＝. 例1　(1)函数y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由x－≠kπ＋，k∈Z， 得x≠kπ＋，k∈Z. (2)函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　) A. B. C．π D．2π 答案　A 解析　方法一　T＝＝＝. 方法二　f(x)＝tan ＝tan ＝tan＝f， ∴T＝. 反思感悟　(1)判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. (2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 ①一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． ②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 跟踪训练1　函数f(x)＝cos＋tan x为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 答案　A 解析　因为f(x)＝sin x＋tan x， ，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝ －f(x)，故函数为奇函数． 二、正切函数的图象 问题4　你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 提示　可以先考察函数y＝tan x，x∈的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 问题5　如何画出函数y＝tan x的图象？ 提示　如图，先画出y＝tan x，x∈内的图象，然后根据正切函数是奇函数，得到关于原点对称的y＝tan x，x∈的图象，再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线． 知识梳理 正切函数的对称中心为(k∈Z)． 注意点： 正切函数只有对称中心，没有对称轴， 例2　函数y＝tan的一个对称中心是(　　) A．(0,0) B. C. D．(π，0) 答案　C 解析　令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z， 所以函数y＝tan的对称中心是，k∈Z.令k＝2，可得函数的一个对称中心为. 反思感悟　正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键． 跟踪训练2　(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为(　　) A．π B. C. D.π 答案　C 解析　y＝tan 3x的周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为. (2)与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．y＝ C．x＝ D．y＝ 答案　C 解析　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)． 令k＝0，得x＝. 三、正切函数的单调性与最值 知识梳理 1．单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增． 2．值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R. 例3　已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f 的大小． 解　(1)因为f(x)＝3tan ＝－3