5.4.2 第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵

第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题 学习目标　1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题． 导语 同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题．整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想． 一、形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题 问题1　求二次函数的最值，需要明确哪些方面？ 提示　开口方向，对称轴，函数的定义域． 问题2　同角三角函数的平方关系是什么？ 提示　sin2α＋cos2α＝1. 例1　函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________． 答案　[－4,0] 解析　因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2. 又－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0， 所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0]． 延伸探究 1．把本例中“x∈R”变为“x∈”，求函数的最大值和最小值及取得最值时的x的值． 解　由例题解答可知y＝－(sin x－1)2，因为x∈，所以≤sin x≤1，所以当sin x＝1，即x＝时，ymax＝0；当sin x＝，即x＝时，ymin＝－. 2．本例函数变为y＝sin2x＋2cos x－2，x∈R，求函数的值域． 解　因为y＝sin2x＋2cos x－2＝1－cos2x＋2cos x－2＝－cos2x＋2cos x－1＝－(cos x－1)2，又－1≤cos x≤1，所以函数的值域为[－4,0]． 反思感悟　 求y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数最值(值域)的方法 形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．若f(x)＝asin2x＋bcos x＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值． 跟踪训练1　函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． 答案　1 解析　由题意得f(x)＝1－cos2x＋cos x－，令cos x＝t，则t∈[0,1]，则y＝ －t2＋t＋＝－2＋1，则当t＝，即x＝时，f(x)取得最大值1. 二、正弦函数、余弦函数的对称性 问题3　正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？ 提示　有，(kπ，0)(k∈Z)． 问题4　正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？ 提示　是轴对称图形，方程为x＝＋kπ(k∈Z)． 问题5　类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？ 提示　对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为(k∈Z)． 例2　函数y＝sin的图象的对称轴是直线________，对称中心是________． 答案　x＝＋(k∈Z)　(k∈Z) 解析　要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)， 故函数y＝sin的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)． ∵函数y＝sin的图象与x轴的交点为对称中心，令y＝0，即sin＝0，∴2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)． 故函数y＝sin的图象的对称中心是(k∈Z)． 反思感悟　正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想． 跟踪训练2　求函数y＝2sin的对称轴、对称中心． 解　y＝2sin＝－2sin， 令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 所以函数y＝2sin的对称轴为直线x＝＋，k∈Z， 对称中心的横坐标满足2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z. 所以函数y＝2sin的对称中心为，k∈Z. 三、函数性质的综合应用 例3　若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上单调递增，则y＝f(x)的解析式可以是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos 答案　A 解析　对于A选项，周期为π， sin＝sin ＝1