5.4.2 第2课时 单调性与最值-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　单调性与最值 学习目标　1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题． 导语 同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题． 一、正弦函数、余弦函数的单调性 问题　你能作出正弦函数y＝sin x，x∈的函数图象吗？ 提示　 知识梳理 1．正弦函数的单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 2．余弦函数的单调性 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 注意点： (1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限． (2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间． (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小． 二、利用单调性比较大小 例1　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)cos ，cos ； (2)cos 1，sin 1； (3)sin 164°与cos 110°. 解　(1)cos ＝cos ，cos ＝cos ， 因为0<<<π，又y＝cos x在[0，π]上单调递减， 所以cos >cos ，即cos >cos . (2)因为cos 1＝sin，又0<－1<1<，且y＝sin x在上单调递增， 所以sin<sin 1，即cos 1<sin 1. (3)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°， cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°. 因为y＝sin x在上单调递增， 所以－sin 20°<sin 16°， 即cos 110°<sin 164°. 反思感悟　比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 跟踪训练1　(1)下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<sin 168°<cos 10° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<cos 10°<sin 168° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案　A 解析　因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小．因为y＝sin x在上单调递增，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. (2)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　) A．sin α<sin β B．cos α<sin β C．cos α<cos β D．cos α>cos β 答案　B 解析　因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α＋β>，所以0<－β<α<，所以cos α <cos＝sin β. 三、求正弦函数、余弦函数的单调区间 例2　求函数y＝2sin的单调区间． 解　令z＝x－，则y＝2sin z. ∵z＝x－是增函数， ∴y＝2sin z单调递增(减)时， 函数y＝2sin也单调递增(减)． 由z∈(k∈Z)， 得x－∈(k∈Z)， 即x∈(k∈Z)， 故函数y＝2sin的单调递增区间为 (k∈Z)． 同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)． 延伸探究 1．求函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调区间． 解　由例题知f(x)＝2sin的单调递增区间为，k∈Z， 又∵x∈[0,2π]， ∴0≤x≤或≤x≤2π， 同理函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为. ∴函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为. 2．求函数y＝sin的单调递增区间． 解　y＝sin＝－sin， 令z＝x－，又y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z， ∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z. 反思感悟　求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”