5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　周期性与奇偶性 学习目标　1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性． 导语 同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习．我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质． 一、正弦函数、余弦函数的周期 问题1　正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？ 提示　能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律．我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0,2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象．②诱导公式一，sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，对任意的k∈Z都成立． 知识梳理 1．函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可． (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期． 例1　求下列三角函数的周期： (1)y＝7sin x，x∈R； (2)y＝sin 2x，x∈R； (3)y＝sin，x∈R； (4)y＝|cos x|，x∈R. 解　(1)因为7sin(x＋2π)＝7sin x，由周期函数的定义知，y＝7sin x的周期为2π. (2)因为sin 2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，由周期函数的定义知，y＝sin 2x的周期为π. (3)因为sin ＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π. (4)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示． 由图象可知，y＝|cos x|的周期为π. 反思感悟　求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 跟踪训练1　求下列三角函数的最小正周期： (1)y＝|sin x|； (2)y＝cos 4x； (3)y＝3sin； (4)y＝2cos. 解　(1)由y＝|sin x|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， 得f(x)＝|sin x|的最小正周期为π(或通过图象判断)． (2)由y＝cos 4x，T＝＝＝. (3)由y＝3sin，T＝＝＝4π. (4)由y＝2cos，T＝＝＝π. 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 问题2　继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？ 提示　正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称． 知识梳理 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 例2　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝|sin x|＋cos x； (3)f(x)＝x2cos. 解　(1)f(x)＝sin＝－cos x，x∈R. 因为∀x∈R，都有－x∈R， 又f(－x)＝－cos＝－cos x＝f(x)， 所以函数f(x)＝sin是偶函数． (2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域为R， 因为∀x∈R，都有－x∈R， 又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， 所以函数f(x)＝|sin x|＋cos x是偶函数． (3)f(x)＝x2cos＝－x2sin x，x∈R， 因为∀x∈R，都有－x∈R， 又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝x2cos