5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 学习目标　1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题． 导语 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数． 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 问题1　结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质． 问题2　绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)? 提示　如图，在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0)． 问题3　我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？ 提示　如图，借助单位圆，在x轴上把[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象． 知识梳理 1．正弦函数的图象叫做正弦曲线． 函数 y＝sin x，x∈R 图象 2.余弦函数的图象叫做余弦曲线． 函数 y＝cos x，x∈R 图象 例1　下列叙述正确的个数为(　　) ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称； ③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围． A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象(略)，由图象观察可知①，②，③均正确． 反思感悟　解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 跟踪训练1　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(　　) A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B．都是对称图形 C．都与x轴有无数个交点 D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称 答案　A 解析　由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确． 二、“五点(画图)法”画函数的图象 问题4　如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图？ 提示　根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可．今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 知识梳理 “五点(画图)法” 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0,0)，， (π，0)，，(2π，0) (0,1)，， (π，－1)，， (2π，1) 例2　用“五点法”作下列函数的图象： (1)y＝1－2sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝cos x＋，x∈[－π，π]． 解　(1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－2sin x 1 －1 1 3 1 描点连线，画图如下． (2)列表： x －π － 0 π cos x －1 0 1 0 －1 cos x＋ － － 描点连线，画图如下． 反思感悟　作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤 跟踪训练2　用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象： (1)y＝－sin x；(2)y＝2－cos x. 解　列表： x －π － 0 π －sin x 0 1 0 －1 0 2－cos x