5.3 第3课时 公式的综合应用-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第3课时　公式的综合应用 学习目标　1.熟练掌握六组诱导公式的结构特征.2.会利用六组诱导公式求值、证明． 导语 同学们，经过前两节课的学习，我们掌握了三角函数的诱导公式一～六，你掌握记忆的技巧了吗？其实，它们可以统一概括为α＋k·(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值，前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号，简称为“奇变偶不变，符号看象限”． 一、利用诱导公式证明恒等式 例1　求证：＝. 证明　∵右边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝左边，∴原等式成立． 反思感悟　三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练1　求证：＋＝. 证明　∵左边＝＋ ＝＋＝ ＝＝＝右边， ∴原等式成立． 二、诱导公式在实际问题中的应用 问题1　三角形中其中一个角与另外两角的和是什么关系？ 提示　互补． 问题2　直角三角形中，两锐角是什么关系？ 提示　互余． 例2　在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状． 解　因为A＋B＋C＝π， 所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又因为sin ＝sin ， 所以sin ＝sin ， 所以sin＝sin， 所以cos C＝cos B. 又B，C为△ABC的内角，所以C＝B， 所以△ABC为等腰三角形． 反思感悟　利用诱导公式解决实际问题时，需注意公式四和公式五中的互补和互余，是广义上的互补和互余．在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值． 跟踪训练2　在△ABC中，下列各表达式为常数的是(　　) A．sin(A＋B)＋sin C B．cos(B＋C)－cos A C．sin2＋sin2 D．sin sin 答案　C 解析　在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A项，sin(A＋B)＋sin C＝2sin C，不为常数； B项，cos(B＋C)－cos A＝－2cos A，不为常数； C项，sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1为常数； D项，sin sin ＝cos sin ，不为常数． 三、三角函数的综合应用 例3　已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到的，求5sin β－5cos β＋3tan β的值． 解　(1)根据题意，得sin α＝＝， cos α＝＝，tan α＝＝， ∴sin(α＋π)＝－sin α＝－. (2)根据题意，得β＝α－， ∴5sin β－5cos β＋3tan β ＝5sin－5cos＋3tan ＝5cos α＋5sin α－ ＝5×＋5×－3×＝－. 反思感悟　用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名． 跟踪训练3　若角α的终边上有一点P(m，－8)，且cos α＝－. (1)求m的值； (2)求的值． 解　(1)由勾股定理得，点P到原点的距离为r＝＝， 根据三角函数的定义可得cos α＝＝－， 解得m＝－6，m＝6(舍去)． (2)原式＝＝－sin α， 由(1)可得r＝＝10， 所以sin α＝＝－， 所以原式＝－sin α＝. 1．知识清单： (1)识记诱导公式． (2)三角形角的特点． (3)结合三角函数定义进行化简、求值、证明． 2．方法归纳：公式法． 3．常见误区：实际问题中角的范围． 1．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于(　　) A．cos C B．－cos C C．sin C D．－sin C 答案　B 解析　由于A＋B＋C＝π， 所以A＋B＝π－C. 所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C. 2．已知sin 40°＝a，则cos 130°等于(　　) A．a B．－a C. D．－ 答案　B 3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则等于(　　) A. B．1 C. D．－ 答案　A 解析　由题意知，sin α＝，cos α＝－， 原式＝ ＝ ＝. 4．计算：sin211°＋sin279°＝________. 答案　1 解析　因为sin 79°＝sin(90°－11°)＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.