5.3 第1课时 诱导公式(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　诱导公式(一) 学习目标　1.理解诱导公式二～四的推导过程，识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简． 导语 在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要学习的内容． 一、诱导公式二～四 问题1　请同学们写出公式一． 提示　sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 问题2　观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？ 提示　三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等．由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β＝(π＋α)＋2kπ，k∈Z. 问题3　知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？ 提示　设P1(x，y)，则P2(－x，－y)，根据三角函数的定义可知，y＝sin α，x＝cos α，＝ tan α(x≠0)，sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，tan(π＋α)＝.显然，我们可以根据相同的方法找出点P1关于x轴和y轴的对称点，大家试一试吧． 知识梳理 1．公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α. 2．公式三 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α. 3．公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 注意点： (1)函数名称不变． (2)运用公式时把α“看成”锐角． (3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. 二、给角求值 例1　利用公式求下列三角函数值： (1)cos(－480°)＋sin 210°； (2)sin·cos ·tan . 解　(1)原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°) ＝cos(360°＋120°)－sin 30° ＝cos 120°－ ＝cos(180°－60°)－ ＝－cos 60°－＝－－＝－1. (2)原式＝sin·cos·tan ＝sin ·cos·tan  ＝sin·cos ·tan  ＝－sin ·cos ·tan  ＝－××＝－. 反思感悟　利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 跟踪训练1　sin ＋tan －cos＝ . 答案　0 解析　原式＝sin＋tan－cos  ＝sin ＋tan－cos ＝sin －tan ＋cos  ＝－1＋＝0. 三、给值(式)求值 例2　已知cos＝，则cos＝ . 答案　－ 解析　cos ＝cos ＝－cos＝－. 延伸探究 1．若本例中的条件不变，如何求cos？ 解　cos＝cos ＝cos ＝cos＝. 2．若本例中的条件不变，求cos－sin2的值． 解　因为cos＝cos ＝－cos＝－， sin2＝sin2 ＝1－cos2 ＝1－2＝， 所以cos－sin2＝－－ ＝－. 反思感悟　解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 跟踪训练2　(1)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　) A．－ B. C．± D. 答案　B 解析　由sin(π＋α)＝，得sin α＝－， 因为cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角， 所以cos α＝＝. (2)已知sin＝－，且θ∈，则cos＝ . 答案　－ 解析　cos＝cos ＝－cos， ∵θ∈，∴θ－∈， ∴cos>0， 即cos＝＝， ∴cos＝－. 四、利用公式进行化简 例3　化简：(1)； (2). 解　(1)原式＝ ＝＝＝1. (2)原式＝ ＝＝＝－1. 反思感悟　三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函