5.2.2 同角三角函数的基本关系-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习目标　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 导语 “一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”伴随着一首经典老歌，让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现． 一、利用同角三角函数的关系求值 问题1　观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2　若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1. 知识梳理 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 商数关系：＝tan α. 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 注意点： (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立． (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 例1　(教材183页例6改编)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解　∵cos α＝－<0， ∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝＝＝， tan α＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－＝－＝－， tan α＝＝. 反思感悟　已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (2)若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (3)若已知tan α＝m，则tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，通过方程组求解． (4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的符号． 跟踪训练1　已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． 解　∵sin α＋3cos α＝0， ∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴(－3cos α)2＋cos2α＝1， 即10cos2α＝1， ∴cos α＝±. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时， cos α＝－，sin α＝； 当角α的终边在第四象限时， cos α＝，sin α＝－. 二、利用同角三角函数的关系化简 问题3　你能发现同角三角函数的哪些变形形式？ 提示　sin2α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒ 利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值． 例2　化简： (1)－； (2)； (3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α. 解　(1)原式＝ ＝＝＝－2tan2α. (2)原式＝ ＝＝1. (3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α ＝＝ ＝. 反思感悟　三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 跟踪训练2　化简：＋(1＋tan2α)cos2α. 解　原式＝＋cos2α ＝＋·cos2α ＝1＋1＝2. 三、一般恒等式的证明 例3　求证：＝. 证明　方法一　左边＝ ＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 方法二　右边＝＝ ＝ ＝＝左边． 所以原等式成立． 反思感悟　证明三角恒等式常用的方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明