5.1.2 弧度制-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5．1.2　弧度制 学习目标　1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 导语 同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？我们是否想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵．而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 一、弧度制的概念 问题1　我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？ 提示　不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值．为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制． 知识梳理 1．弧度制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么＝. 3．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 注意点： 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 例1　下列各命题中，真命题是(　　) A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 答案　D 解析　根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确． 反思感悟　(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的； (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 跟踪训练1　下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 答案　A 解析　对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误． 二、角度制与弧度制的相互转化 问题2　根据公式|α|＝，你能得出圆周角的弧度数吗？ 提示　因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 知识梳理 角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 注意点： (1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 例2　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. 解　(1)72°＝72×＝. (2)－300°＝－300×＝－. (3)2＝2×°＝°. (4)－＝－×°＝－40°. 反思感悟　角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad. 跟踪训练2　已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． 解　α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝， ∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ. 三、利用弧度表示角 例3　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 解　－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋， 其中<<2π，所以是第四象限角， 所以－1 125°是第四象限角． 延伸探究　若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合． 解　依题意得，与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z， 知k＝－2，－1,0,1， 所以所求角的集合为. 反思感悟　用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练3　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为. (2)终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)______________________ __． 答案　 解析　结合图象，设