5.1.1 任意角-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.1.1　任意角 学习目标　1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题． 导语 同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课． 一、任意角的概念 问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示　角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°. 知识梳理 1．角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示 如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点：O. 3．角的分类 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 4.任意角 我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 5．相反角 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α. 例1　若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A．120° B．－120° C．－60° D．60° 答案　B 解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数， 即为－×360°＝－120°. 反思感悟　正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角．正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样． 跟踪训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　) A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° 答案　B 解析　钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 二、象限角 问题2　现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？ 提示　我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． 注意点： (1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限． (2)每一个象限都有正角和负角． (3)无法比较两个象限角的大小． 例2　(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A．160° B．480° C．－960° D．1 530° 答案　ABC 解析　A中，160°很显然是第二象限角； B中，480°＝120°＋360°是第二象限角； C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角； D中，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角． 反思感悟　正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 跟踪训练2　(多选)下列叙述不正确的是(　　) A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第二象限角比第一象限角大 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 答案　ACD 解析　直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确． 三、终边相同的角 问题3　给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°． 知识梳理 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 例3　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． 解　因为