3.3 幂函数-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

学习目标　1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 导语 同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积．《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂．”后来又推广引申为多次乘方的结果．到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂．清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念． 一、幂函数的概念 问题1　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数． 提示　这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数． 知识梳理 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意点： (1)自变量前的系数是1. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数． (4)函数的定义域与α有关． 例1　(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数． (2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解　由题意得 解得或 所以m＝－3或1，n＝. 反思感悟　幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 跟踪训练1　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________. 答案　16 解析　设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 二、幂函数的图象与性质 问题2　根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题． 问题3　你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1这五个函数的图象吗？ 提示　 问题4　观察函数图象以及函数解析式，完成下表． y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 值域 奇偶性 单调性 提示　R　R　R　[0，＋∞)　{x|x≠0}　R　[0，＋∞)　R　[0，＋∞)　{y|y≠0}　奇函数　偶函数　奇函数　非奇非偶函数　奇函数　增函数　在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减　增函数　在[0，＋∞)上单调递增　在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 知识梳理 通过以上信息，我们可以得到： (1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝和y＝x－1的图象都通过点(1,1)； (2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数； (3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝单调递增，函数y＝x－1单调递减； (4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． 注意点：一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三