3.2.2 第2课时 奇偶性的应用-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　奇偶性的应用 学习目标　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式． 一、根据函数奇偶性求函数的解析式 知识梳理 用奇偶性求解析式的步骤： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 解　当x<0时，－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0. 故f(x)＝ (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝.① 用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 延伸探究 1．在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式． 解　当x<0时，－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)， 所以f(x)＝x2＋2x＋3. 即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3. 2．在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式． 解　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 又f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝， 即f(x)－g(x)＝.② 联立①②得f(x)＝，g(x)＝. 反思感悟　(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． (2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解． 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 跟踪训练1　(1)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式． 解　设x<0，则－x>0， 则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又f(x)在R上为偶函数， ∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式． 解　设x>0，则－x<0， 则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x. 又f(x)是R上的奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x. 又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0， 综上可知f(x)＝ 二、利用函数奇偶性与单调性比较大小 问题　想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？ 提示　奇函数在(1,2)上单调递减，偶函数在(1,2)上单调递增． 知识梳理 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为—M. 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 以上a，b符号相同． 例2　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f