3.2.2 第1课时 奇偶性的概念-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题． 导语 古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美．”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美． 一、函数奇偶性的概念 问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示　这两个函数图象都关于y轴对称． 问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 … 提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等． 问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果． 提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形． 知识梳理 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 注意点： (1)函数的奇偶性是函数的整体性质． (2)先判断定义域是否关于原点对称，如果∀x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数． (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称． (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. (5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数． 二、函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝. (4)f(x)＝x－. 解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数． (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}， 且f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 反思感悟　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： 跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2(x2＋2)． 解　(1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f(－x)＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝是奇函数． (2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R. ∵f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数． 三、奇、偶函数的图象及应用 例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 解　(1)由题意作出函数图象如图． (2)由图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<2，且x≠0}． 延伸探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解　(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)由图可知，单调递增区间为(－1,1)． (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<0或x>2}． 反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式