3.1.2 第3课时 分段函数-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第3课时　分段函数 学习目标　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题． 导语 大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等．这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴． 一、分段函数求值(范围)问题 问题　函数y＝是两个函数吗？ 提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同． 知识梳理 分段函数 (1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数； (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 注意点： 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． 例1　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(1)，f ； (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． 解　(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(1)＝3×1＋5＝8，f ＝f  ＝f ＝3×＋5＝. (2)因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0， 解得a≥1或a≤－， 即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)． 延伸探究 1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3， 即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3， 即a＝－∈(－2,2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3， 即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2. 2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围． 解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x， 即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是(－∞，2)． 反思感悟　(1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 跟踪训练1　(1)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是(　　) A．[－4,2) B．[－4,2] C．(0,2] D．(－4,2] 答案　B 解析　当x≤0时，f(x)≥－1即x＋1≥－1，解得x∈[－4,0]； 当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1， 解得x∈[0,2]， 综上，x∈[－4,2]． (2)函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. 答案　－或10 解析　当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6， ∴x0＝－或x0＝(舍去)； 当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10. 综上可知，x0＝－或x0＝10. 二、分段函数的图象及应用 例2　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域． 解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 φ(x)＝ (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， ∴φ(x)的值域为(－∞，1]． 反思感悟　分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 跟踪训练2　函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式． 解　当x<－1时， 设f(x)＝ax＋b， 则 解得 所以f(x)＝x＋2； 当－1≤x≤2时，设f(x)＝kx2， 由4＝k·22得k＝1，所以f(x)＝x2； 当x>2时，设f(x)＝cx＋d， 则 解得 所以f(x)＝2x， 所