3.1.2 第2课时 函数的表示法(2)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　函数的表示法(2) 学习目标　1.掌握利用图象的变换法作图.2.会求函数的解析式． 导语 同学们，函数的图象在整个函数的学习中占据重要的地位，因为它能带领我们直观的感受变量的发生、发展过程，就好像是有了“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，就能在我们的脑海里呈现出一幅优美的图象一样直接． 一、函数图象的画法 问题　除了我们所熟悉的“列表、描点、连线”作图，还有哪些作图的方法？ 提示　平移变换、对称变换、翻折变换． 知识梳理 1．函数图象的平移变换 (1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象． (2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象． 2．函数图象的对称变换 (1)y＝f(x)y＝－f(x)； (2)y＝f(x)y＝f(－x)； (3)y＝f(x)y＝－f(－x)． 3．函数图象的翻折变换 (1)y＝f(x)y＝|f(x)|； (2)y＝f(x)y＝f(|x|)． 注意点： (1)左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值． (2)自变量的绝对值是左右翻折，函数值的绝对值是上下翻折． (3)若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图象关于x＝a对称． 例1　画出函数y＝(x－2)2的图象． 解　方法一　列表： x －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y 9 6.25 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 描点、连线，图象如图所示． 方法二　图象变换法：先作出函数y＝x2的图象，然后把它向右平移2个单位长度，就得到函数y＝(x－2)2的图象，如图所示． 反思感悟　画函数图象的两种常见方法 (1)描点法：列表、描点、连线． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、对称变换、翻折变换等． 跟踪训练1　函数y＝的大致图象是(　　) 答案　A 解析　方法一　y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B. 方法二　y＝＝1－，由函数的平移性质可知A正确． 二、求函数的解析式 例2　(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)． (3)已知2f(x)＋f ＝x(x∈R且x≠0)，求f(x)的解析式． 解　(1)方法一　(换元法)令t＝＋1， 则x＝(t－1)2，t≥1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二　(配凑法)f(＋1)＝x＋2 ＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因为＋1≥1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 所以所以 所以f(x)＝x2－2x－1. (3)由可知f(x)＝－(x≠0)． 反思感悟　求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 跟踪训练2　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)． (3)已知f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式． 解　(1)方法一　(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2 ＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二　(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 即f(x)＝x2－5x＋6. (2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即解得或 ∴f