3.1.2 第1课时 函数的表示法(1)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

3.1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法(1) 学习目标　1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域． 导语 如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于不同呈现出来的函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧． 一、函数的表示法 问题　结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出几种函数的表示方法？ 提示　解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 例1　中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数y＝f(x)吗？ 解　函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，用解析法可将函数表示为 f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}． 列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 图象法可将函数表示为 反思感悟　理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)． 解　用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示． 用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示． x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 二、函数的图象 例2　作出下列函数的图象： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． 解　(1)当x∈[0,2]时，图象是一次函数y＝2x＋1的一部分，如图所示． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，如图所示． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分，如图所示． 反思感悟　作函数y＝f(x)图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍． (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象． 跟踪训练2　作出下列函数的图象： (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]． 解　(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示． 三、求简单函数的值域 例3　求下列函数的值域： (1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]； (3)y＝； (4)y＝. 解　(1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}， ∴y∈{3,5,7,9,11}． ∴函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示， 由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]． (3)y＝＝2＋，故该函数是由反比例函数向上平移了2个单位长度得到的，故值域为. (4)∵y＝＝＝3＋≠3， ∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)． 反思感悟　求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 跟踪训练3　求下列函数的值域： (1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)； (2)y＝－1. 解　(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧， ∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升． ∴当x＝－5时，y＝－12，当x＝－2时，y＝