3.1.1 函数的概念(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

3.1.1　函数的概念(一) 学习目标　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域． 导语 请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟)，大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现：函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西，它只是一个名称，它就在我们身边，比如路程随时间的变化而变化；一天中温度随时间的变化而变化；天宫二号在发射过程中，上升的高度随时间的变化而变化，可以说这种变量关系无处不在，而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美． 一、函数的概念 问题1　阅读课本60页的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？ 提示　它们有相同的解析式，也就是对应关系．但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同． 问题2　请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别． 提示　是函数．由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象． 问题3　通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？ 提示　不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系．共同点：①都包含两个非空的实数集，分别用A，B来表示；②两个实数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 知识梳理 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 注意点： (1)A，B是非空的实数集． (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应． (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数． 例1　(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 答案　AD 解析　按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不能表示； ②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②可以表示； ③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不能表示； ④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不能表示； ⑤中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以⑤可以表示． 反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 跟踪训练1　已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝x＋1 C．y＝x－1 D．y＝|x|. 答案　D 解析　只有y＝|x|是符合题意的对应关系． 二、函数的三要素 问