3.1.1 函数的概念(二)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

3.1.1　函数的概念(二) 学习目标　1.会判断两个函数是否为同一个函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域与函数值． 一、区间的概念 知识梳理 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 区间 数轴表示 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆． (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (4)∞是一个符号，而不是一个数． 例1　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}． 解　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x<0}＝(－∞，0)． (3){x|－1<x<1}＝(－1,1)． (4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]． 反思感悟　用区间表示数集时要注意： (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 跟踪训练1　(1)集合{x|－2<x≤2且x≠0}用区间表示为________． 答案　(－2,0)∪(0,2] 解析　{x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2,0)∪(0,2]． (2)已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________． 答案　(－3,2) 解析　由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0， 解得－3<a<2， 所以实数a的取值范围是(－3,2)． 二、求函数的定义域与值 例2　(1)函数f(x)＝－的定义域为________． 答案　[1，＋∞) 解析　要使f(x)有意义，则解得x≥1， 所以f(x)的定义域为[1，＋∞)． (2)已知函数f(x)＝x＋，则f(2)＝______；当a≠－1时，f(a＋1)＝____________. 答案　　a＋1＋ 解析　f(2)＝2＋＝.当a≠－1时，a＋1≠0， 所以f(a＋1)＝a＋1＋. 反思感悟　(1)求函数的定义域应关注三点 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：(ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)y＝x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化． ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (2)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 跟踪训练2　求下列函数的定义域： (1)y＝3－x； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝. 解　(1)函数y＝3－x的定义域为R. (2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}． (3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤5，且x≠±3， 所以函数y＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}． (4)要使函数有意义，则 即 解不等式组得－1≤x<1. 所以函数y＝的定义域为{x|－1≤x<1}． 三、判断是否为同一个函数 问题1　构成函数的要素有哪些？ 提示　定义域、对应关系和值域． 问题2　结合函数的定义，如何才能确定一个函数？ 提示　有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定． 例3　下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝·，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________(填序号)． 答案　③⑤ 解析　①不是同一个函数，定义域不同， f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R. ②不是同一个函数，对应关系不同， f(x)＝，g(x)＝. ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同． ④不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3. ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同． 反思感悟　判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限