2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙

第2课时　一元二次不等式的应用 学习目标　1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.3.构建一元二次函数模型，解决实际问题． 一、解简单的分式不等式 问题　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 提示　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 例1　解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， ∴－1<x<， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1>0， ∴>0，即>0， 则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}． 反思感悟　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 跟踪训练1　解下列不等式： (1)≥0； (2)<3. 解　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x>3. 即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可改写为－3<0， 即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 二、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 故＝－， 又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0， 解得x<或x>， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 延伸探究 1．若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 解　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0. ∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0， 即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0. 解得－<x<－， 故原不等式的解集为. 2．若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解　方法一　由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0， 且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴×2＝<0，－＋2＝－. ∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 故所求不等式的解集为. 方法二　由已知得a<0 且＋2＝－，×2＝知c>0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－， －＝＝＝－， ∴x1＝－3，x2＝. ∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 . 反思感悟　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 跟踪训练2　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 由根与系数的关系得 解得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0. 解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 三、一元二次不等式的实际应用 例3　(教材P54页例5改编)某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 解　由题意可得s＝－2x＋x2≥22.5， 化简得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9， 又∵x≥0，∴x≥45. ∴这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h. 反思感悟　解不等式应用题的步骤 跟踪训练3　某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周