2.2 第1课时 基本不等式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　基本不等式 学习目标　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 导语 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售．你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 一、基本不等式的证明与理解 问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？ 提示　正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式． 问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？ 提示　用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤. 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明． 提示　方法一　(作差法) －＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 方法二　(性质法) 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－(－)2≤0， 显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． 方法三　(利用几何意义证明) 如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤，由此也可以得出圆的半径不小于半弦． 知识梳理 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 二、求简单代数式的最值 例1　已知x>0，求x＋的最小值． 解　因为x>0， 所以x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. 延伸探究　 1．当x<0时，求x＋的最大值． 解　原多项式可变为x＋＝－， 因为x<0，则－x>0， 故有－x＋≥2＝4， 所以－≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立． 故原式的最大值为－4. 2．当x>1时，求x＋的最小值． 解　因为x>1，故有x－1>0， 所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5， 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．因此所求的最小值为5. 反思感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，三点缺一不可． 跟踪训练1　(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则＜ab 答案　AC 解析　A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误． 三、最值定理 问题4　你能写出基本不等式的几种变形吗？ 提示　a>0，b>0时，有①≤；②ab≤2；③a＋b≥2.由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值． 知识梳理 最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大． 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换． 例2　(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 答案　C 解析　因为x>0，y>0， 所以≤，