第05讲 全称量词与存在量词（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第05讲 全称量词与存在量词 知识点1：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” 知识点2：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 知识点4：命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 ax²+bx+c＞0，且开口向上，b²-4ac＜0就恒成立； ax²+bx+c＜0，且开口向下，b²-4ac＜0就恒成立 【题型1 全称、存在量词命题的判断】 【典例1】（2022秋•碑林区校级期末）下列语句不是全称量词命题的是（　　） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一（1）班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 【变式1-1】下列命题中，全称量词命题的个数为（　　） ①平行四边形的对角线互相垂直； ②梯形的上下底互相平行相等； ③存在一个矩形，它的四个角不相等； ④高二（1）班绝大多数女同学是美女． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2022秋•安溪县期中）下列命题是全称量词命题的是（　　） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得x2+3x是质数 D．∃x∈R，x2＝x 【变式1-3】（2022秋•株洲月考）下列命题中，不是全称量词命题的是（　　） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数 【题型2 判断全称、存在量词命题的真假】 【典例2】（2022秋•开封月考）下列是全称量词命题且是真命题的为（　　） A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x、y∈Q，都有x+y∈Q C．∃x0∈Z， D．∀x，y∈R，|x|+|y|＞0 【变式2-1】（2022秋•虎丘区校级月考）下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（　　） A．任一无理数的平方是无理数 B．至少有一个实数x，使x3＞0 C．∀x∈R，x2+x+1＞0 D．∃x＜0，使 【变式2-2】（2021秋•昌平区校级期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．∀x∈R，x2+2x+1＞0 B．∃x∈N，使得2x