第1章 课时作业12 数学归纳法-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

第1章　数列　　　　　　　 课时作业12 数学归纳法 时间:45分钟 一、选择题 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于 (n-2)×180°”时,归纳奠基中n0 的取值 应为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+ 2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N+)时, 若记f(n)=n+(n+1)+(n+2)+…+ (3n-2),则f(k+1)-f(k)等于( ) A.3k-1 B.3k+1 C.8k D.9k 3.已知f(n)= 1 n+ 1 n+1+ 1 n+2+ …+ 1 n2 , 则 ( ) A.f(n)中共有n 项,当n=2时,f(2)= 1 2+ 1 3 B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)= 1 2+ 1 3+ 1 4 C.f(n)中共有n2 -n 项,当n=2时, f(2)= 1 2+ 1 3 D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时, f(2)= 1 2+ 1 3+ 1 4 4.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…· (n+n)=2n ×1×3×…×(2n-1)(n∈ N+)”时,从“n=k到n=k+1”时,左边应 添加的式子是 ( ) A.2k+1 B. 2k+1 k+1 C.2(2k+1) D. 2k+2 k+1 5.对于等式12+22+32+…+n2= 1 2 (5n2- 7n+4),下列说法正确的是 ( ) A.n为任何正整数都成立 B.当n=1,2,3时成立 C.当n=4时成立,n=5时不成立 D.仅当n=4时不成立 6.在数列{an}中,a1 = 1 3 ,且Sn =n(2n- 1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an = ( ) A. 1(n-1)(n+1) B. 12n(2n+1) C. 1(2n-1)(2n+1) D. 1(2n+1)(2n+2) 7.已知命题1+2+22+…+2n-1=2n-1及 其证明: (1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1, 所以等式成立. (2)假设n=k(k∈N+)时等式成立,即1+ 2+22+…+2k-1=2k-1成立,则当n=k+ 1时,1+2+22+…+2k-1+2k= 1-2k+1 1-2 = 2k+1-1,所以n=k+1时等式也成立. 由(1)(2)知,对任意的正整数n 命题都 成立. 以上评述中 ( ) A.命题、证明都正确 B.命题正确、证明不正确 C.命题不正确、证明正确 D.命题、证明都不正确 8.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n× 3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+ 都成立, 那么a,b,c的值为 ( ) A.a= 1 2 ,b=c= 1 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 171 B.a=b=c= 1 4 C.a=0,b=c= 1 4 D.不存在这样的a,b,c 二、填空题 9.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈ N+)”时,第一步的验证为 . 10.用数学归纳法证明“1 2 1×3+ 22 3×5+ …+ n2 (2n-1)(2n+1)= n(n+1) 2(2n+1) (n∈N+)”, 推证当n=k+1等式也成立时,只需证明 等式 成立即可. 11.数列{an}中,已知a1=2,an+1= an 3an+1 (n∈ N+),依次计算出a2,a3,a4 后,归纳、猜想 得出an 的表达式为 . 三、解答题 12.证明:11×3+ 1 3×5+ …+ 1 (2n-1)(2n+1)= n 2n+1 (n∈N+). 13.数列{an}满足Sn =2n-an(n∈N+). (1)计算a1,a2,a3,并猜想an 的通项公式; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. 14.现有命题“1-2+3-4+5-6+…+ (-1)n+1n= 1 4+ (-1)n+1 1 4+ n 2 ,n ∈ N+”,不知真假.请你用数学归纳法去探 究,此命题的真假情况为 ( ) A.不能用数学归纳法去判断真假 B.一定为真命题 C.加上条件n≤9后才是真命题,否则为假 D.存在一个很大常数m,当n>