专题 数列求和(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

第1章　数列　　　　　　　 专题 数列求和 数列求和的方法 1.倒序相加法:如果一个数列前n项满足与 首末两项等“距离”的两项之和等于首末两项之 和,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求. 如 数列前n项和公式就是用此方法推 导的. 2.错位相减法:如果一个数列的各项是由 一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来 求,如 数列的前n 项和公式就是用此 法推导的. 3.分组转化求和法:一个数列的通项公式 是由若干个 数列或等比数列或可求和 的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求 和后再相加减. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项的 ,正负相消剩下首尾若干项. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 分组转化求和法 [例1] 设数列{an}的前n项和为Sn=2n2, {bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设cn =an +bn,求数列{cn}的前n 项 和Tn. 学生试答: 　　 分组转化法求和的常见类型 (1)若an=bn±cn，且{bn}，{cn}为等差数列或 等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an= bn，n为奇数， cn，n为偶数 的数列，其 中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用 分组求和法求{an}的前n项和． 　　(3)某些数列的求和是将数列分解转化为若干个 可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和， 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将 数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的 数列中对字母的讨论． 变式训练1 在等差数列{an}中,a2=4, a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2 an-2+n,求b1+b2+b3+…+ b10 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031 裂项相消法求和 [例2] 已知正项数列{an}的前n 项和为 Sn,满足a1=1,anan+1=4Sn -1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)bn = 1 an+1an+2 ,求数列{bn}的前n 项和 Tn. 学生试答: 　　 裂项相消法的实质是将数列中的每项(通项)分 解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求 和的目的.利用裂项相消法的关键是分析数列的通 项，考查是否能分解成两项的差. 变式训练2 设Sn 为正项数列{an}的前 n项和,且满足a2n +2an =4Sn +3. (1)求{an}的通项公式; (2)令bn= 1 anan+1 ,Tn=b1+b2+…+bn, 求Tn. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 错位相减法求和 [例3] 设Sn 是数列{an}的前n 项和, 且Sn =(ln3)n2+(ln3)n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nean}的前n项和Tn. 学生试答: 　　1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数 列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相 减法. 2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注 意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“Sn - qSn”的表达式. 变式训练3 在数列{an}中,a1= 1 2 , (4n-2)an+1=(2n+1)an. (1)设bn= an 2n-1 ,证明:{bn}是等比数列, 并求{an}的通项公式; (2)设Sn 为数列{an}的前n 项和,证明: Sn <3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则 数列{an}的前n项和为 ( ) A.2n +n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n +n-2