第2章总结(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

第2章　平面解析几何初步　　　　　　　 平 面 解 析 几 何 初 步 直 线 与 方 程 直 线 的 方 程 两点式方程:y-y1 y2-y1 = x-x1 x2-x1 (x1 ≠x2,y1 ≠y2),不能表示垂直于坐标轴的直线 斜截式方程:y =kx+b,不能表示垂直于x 轴的直线 截距式方程:x a + y b =1 (a≠0,b≠0),不能表示垂直于坐标轴或过原点的直线 点斜式方程:y-y0 =k(x-x0),不能表示垂直于x 轴的直线 一般式方程:Ax+By+C =0(A,B 不同时为0),可以表示平面内任意一条直线 两条直线的位置关系 l1 与l2 平行 ⇔A1B2-A2B1 =0且A1C2-A2C1 ≠0 (或B1C2-B2C1 ≠0)或k1 =k2 且b1 ≠b2(k1,k2 存在) l1 与l2 垂直 ⇔A1A2+B1B2 =0或k1k2 = -1(k1,k2 存在) l1 与l2 相交 ⇔A1B2-A2B1 ≠0或k1 ≠k2(k1,k2 存在) l1 与l2 重合 ⇔A1B2-A2B1 =0且A1C2-A2C1 =0 (或B1C2-B2C1 =0)或k1 =k2 且b1 =b2(k1,k2 存在) 倾斜角与斜率 直线的倾斜角(范围:0°≤α<180°) 直线的斜率 定义:k=tan α(α≠90°) 公式:k= y2-y1 x2-x1 (x1 ≠x2) 直线的交 点坐标与 距离公式 两直线的交点坐标:方程组 A1x+B1y+C1 =0, A2x+B2y+C2 =0 的解 距离 公式 点到直线的距离公式:平面上任意一点P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C =0(A,B 不同时为0)的距离d = |Ax0+By0+C| A2+B2 两点间的距离公式:|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 两条平行直线间的距离公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1 =0, l2:Ax+By+C2 =0(A,B 不同时为0,C1 ≠C2)间的距离d = |C1-C2| A2+B2 坐标法 直线与圆的位置关系 相切:圆心到直线的距离等于半径 相离 判定方法 几何法 代数法 相交:弦心距、圆的半径、弦长 的一半构成直角三角形 圆的方程 圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2 =r2(r>0) 圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F =0(D2+E2-4F >0) 圆与圆的位置关系 相交 ⇔|r1-r2|<d<r1+r2 外切 ⇔d =r1+r2 内切 ⇔d =|r1-r2| 外离 ⇔d>r1+r2 内含 ⇔0≤d<|r1-r2| 077 直线的倾斜角与斜率、直线方程 1.直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基 本的两个概念,它们从“形”与“数”两个方面刻 画了直线的倾斜程度.倾斜角α与斜率k的对应 关系是做题的易错点,应引起重视. 2.直线方程的五种形式及其应用 直线方程的五种形式各有优劣,在使用时 要根据题目条件灵活选择,尤其在选用四种特 殊形式的方程时,注意其适用条件,必要时要对 特殊情况进行讨论. [例1] 已知直线l过点P(1,1)且与以 A(-1,0),B(3,-4)为端点的线段相交,求直 线l的斜率的取值范围. [分析] 利用数形结合思想,观察直线的 变化情况,根据斜率公式及范围求解,要特别注 意当直线与x 轴垂直时的情形. [解] 如图所示,直线 PA 的斜率 kPA = 1-0 1-(-1)= 1 2 , 直线PB 的斜率 kPB= 1-(-4) 1-3 = - 5 2. 当直线l绕着点P由PA 旋转到与y轴平行 的位置PC 时,它的斜率变化范围是 12 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 , 当直线l绕着点P 由PC 旋转到PB 的位置 时,它的斜率的变化范围是 -∞,- 5 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . ∴ 直线l的斜率的取值范围是 -∞,- 5 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ∪ 1 2 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 . 变式训练1 直线l过点P(-2,1)且斜率 为k(k>1),将直线l绕P 点按逆时针方向旋转 45°得直线m,若直线l和m 分别与y轴交于Q, R 两点. (1)用k表示直线m 的斜率; (2)当k为何值时,△PQR的面积最小? 并 求出面积最小时直线l的方程. 直线平行与垂直的性质及判定 利用直线的方程判定两条直线的平行与垂 直关系是这部分内容常涉及的题型.求解时,可 以利用斜率之间的关系来判定.若方程都是一 般式,由两直线平行或垂直,求参数的值时也可 以用如下方法:直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2: A2x+B2y+C2=0. (1)当l1∥l2时,可先令A1B2-A2B1=0, 解得参数的值后,再代入方程验证,排除重合的 情况;