第1章总结(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

等差(比)数列的基本运算 在等差数列和等比数列的通项公式an 与前 n项和公式Sn 中,共涉及五个量:a1,an,n,d(或 q),Sn,其中a1 和d(或q)为基本量,“知三求 二”是指将已知条件转换成关于a1,d(或q), an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的 量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性 质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同 时还要注意整体代入思想方法的运用. [例1] 已知等差数列{an}满足a1+a2= 10,S3=18. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7, 问:b5 与数列{an}的第几项相等? [解] (1)设等差数列{an}的公差为d, ∵a1+a2=10,S3=18, ∴2a1+d=10,3a1+3d=18, 联立解得a1=4,d=2, ∴an =4+2(n-1)=2n+2. (2)设等比数列{bn}的公比为q, ∵b2=a3=8=b1q, b3=a7=16=b1q2,联立解得b1=4,q=2, ∴bn =2n+1. ∴b5=64=2n+2,解得n=31. ∴b5 与数列{an}的第31项相等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 036 第1章　数列　　　　　　　 变式训练1 已知等差数列{an}的前四 项之和为-4,最后四项之和为36,且所有项之 和为36,求其项数. 求数列的通项公式 数列通项公式的求法 (1)定义法,即直接利用等差数列或等比数 列的定义求通项的方法,这种方法适用于已知 数列类型的题目. (2)已知Sn 求an.若已知数列的前n 项 和Sn 与an 的关系,求数列{an}的通项an 可用公 式an = S1,n=1, Sn -Sn-1,n≥2 求解. (3)累加法、累乘法,形如an -an-1=f(n) (n≥2)的递推式,可用累加法求通项公式;形 如 an an-1 =f(n)(n≥2)的递推式,可用累乘法求 通项公式. (4)若知 an+1 f(n+1)= an f(n) ,则 an f(n)= a1 f(1) ⇒an = a1 f(1)f (n). [例2] 已知等差数列{an}和等比数列 {bn},其中{an}的公差不为0.设Sn 是数列{an} 的前n项和.若a1,a2,a5是数列{bn}的前3项, 且S4=16. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}满足c1=1,且当n≥2时, cn -cn-1=anbn,求数列{cn}的通项公式. [解] (1)设{an}的公差为d,{bn}的公比 为q, 根据题意可得a1=b1,a1+d=b1q,a1+ 4d=b1q2,2a1+3d=8, 解得a1=1,d=2,b1=1,q=3. 故可得an =2n-1,bn =3n-1. (2)由(1)可知,当n ≥2时,cn -cn-1 = (2n-1)×3n-1, 故可得c2-c1=3×3,c3-c2=5×32,…, cn -cn-1=(2n-1)×3n-1, 上述式子累加可得cn -c1=3×3+5× 32+…+(2n-1)×3n-1, 则cn=1+3×3+5×32+…+(2n-1)× 3n-1, 3cn =3+3×32+5×33+…+(2n-3)× 3n-1+(2n-1)×3n, 故可得-2cn=1+2(3+32+…+3n-1)- (2n-1)×3n=1+2× 3(3n-1-1) 3-1 - (2n-1)× 3n =(2-2n)×3n -2, 则cn =(n-1)×3n +1. 当n=1时,c1=1,满足上述通项公式, 故可得cn =(n-1)×3n +1. 变式训练2 (1)已知数列{an}的前n 项 和Sn =3+2n,求an. (2)数列{an}的前n 项和为Sn 且a1=1, an+1= 1 3Sn ,求an. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �