4.4 二项式定理(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

3.从2位女生,4位男生中选3人参加比赛,且至 少有1位女生入选,则不同的选法共有 ( ) A.12种 B.16种 C.20种 D.24种 4.从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志 愿者,若选出的4人中既有男生又有女生,则 不同的选法共有 种. 5.在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从 这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有 多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有 多少种? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.4 二项式定理 第1课时 　 二项式定理 [课标解读]能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. [素养目标]水平一:1.能用计数原理证明二项式定理.（数学抽象）2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式. （数学运算） 水平二:能解决与二项式定理有关的简单问题.（逻辑推理、数学运算） 二项式定理 1.(a+b)n = . 2.右边的多项式叫作(a+b)n 的 , 一共有 项. 3.各项的系数 (其中0≤r≤n, r∈N,n∈N+)叫作二项式系数. 4.式中的 叫作二项展开式的通 项,用 表示,即Tr+1=Crnan-rbr. 一、答一答 1.二项式定理中,项的系数与二项式系数相同 吗,为什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 140 第4章　计数原理　　　　　　　 2.二项式(a+b)n 与(b+a)n 展开式中第r+1项 是否相同? 3.二项展开式的通项公式Crnan-rbr 有哪些特点? 二、练一练 1.x- 2 x n 的展开式共有11项,则n等于 ( ) A.9 B.10 C.11 D.8 2.二项式(1-2x)9 的展开式中x6 的系数为 ( ) A.C69 B.-C69 C.C6926 D.-C69·26 3.二项式(x2+ x)5 的展开式中,x7 的系数为 .(用数字填写答案) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二项式定理的正用、逆用 [例1] (1)求2 x + 1 x 4 的展开式. (2)设n为正整数,化简:C0n4n-1+C1n4n-2+ C2n4n-3+…+Cn-1n 40+Cnn4-1. 学生试答: 　　1.简单的二项式展开时可直接利用二项式定理 展开；对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以 根据二项式的结构特点进行必要的变形，然后再展 开，以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提. 　　2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特 点.a的指数是从高到低，b的指数是从低到高，a,b 的指数和都相等.若项的系数是正负相间，则是(a- b)n 的形式. 变式训练1 (1)求(x+2y)4 的展开式. (2)化简:1+2C1n +4C2n +…+2nCnn. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 141 二项式系数与项的系数问题 [例2] 求二项式2 x - 1 x 6 的展开式中 第6项的二项式系数和第6项的系数. 学生试答: 　　 二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数Crn(r∈ {0,1,2,…, n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要 注意区分“二项式系数” 与二项展开式中“项的系 数”这两个概念. 　　(2)第r+1项的系数是此项字母前的数连同符 号,而此项的二项式系数为Crn.例如,在(1+2x)7 的 展开式中,第4项是T4=C3717-3(2x)3,其二项式系数 是C37=35,而第4项的系数是C3723=280. 变式训练2 在 2x2- 1 3 x 8 的展开式 中,求: (