4.3 组合(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

第4章　计数原理　　　　　　　 4.3 组合 第1课时 　 组合与组合数 [课标解读]通过实例,理解组合的概念,能利用计数原理推导组合数公式. [素养目标]水平一:1.理解组合与组合数的概念,正确认识组合与排列的区别与联系.（数学抽象）2.会推导组合数 公式,并会应用公式进行计算.（数学运算） 水平二:理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.（逻辑推理） 组合 一般地,从n个不同元素中取出m(m ≤n) 个不同的元素, 地构成一组,叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 说明:两个组合相同,当且仅当这两个组合 的元素完全相同. 组合数 从n个不同元素中取出m(m ≤n)个不同 的元素,所有不同组合的 叫作从n 个 不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号Cmn 表示. 组合数公式 1.Cmn = Amn Amm = ,其中n,m ∈ N+,并且m ≤n. 2.Cmn = 3.规定C0n =1. 一、答一答 1.组合对对象有何要求? 2.组合是有放回抽取还是无放回抽取? 二、练一练 1.3本不同的书分成两堆,分法有 ( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 2.集合M ={x|x=Cn4,n≥0且n∈N},集合 Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是 ( ) A.M ∪Q={0,1,2,3,4} B.Q ⊆M C.M ⊆Q D.M ∩Q={1,4} 3.不等式C2n -n<5的解集为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 组合的概念 [例1] 判断下列各事件是排列问题,还是 组合问题. (1)10个 人 相 互 各 写 一 封 信,共 写 多 少 封信? (2)10个人相互通一次电话,共通了多少次 电话? (3)从10个人中选3个代表去开会,有多少 种选法? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 135 (4)从10个人里选出3个不同学科的代表, 有多少种选法? 学生试答: 　　 根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与 组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题 是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无 关的是组合． 变式训练1 给出下列问题: ① 从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去 参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的 选法? ② 有4张电影票,要在7人中确定4人去观 看,有多少种不同的选法? ③某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均 为2枪连中,则不同的结果有多少种? 其中组合问题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 组合数公式 [例2] (1)用组合数表示: n(n+1)(n+2)…(n+100) 100! . (2)求值:C5-nn +C9-nn+1. (3)证明:Cmn = n n-m Cmn-1. 学生试答: 　　1.组合数公式 Cmn = n(n-1)…[n-(m-1)] m×(m-1)×…×2×1 的形式特点：① 分子是m 个数相乘，且第一个因数 是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后 一个因数是n-m+1；② 分母是m 的阶乘. 　　2.组合数公式Cmn = Amn Amm 体现了组合数与相应排 列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到. 3.组合数公式Cmn = n! (n-m)! m! 的主要作用 有：① 用于计算m,n较大时的组合数；② 对含有字 母的组合数的式子进行变形和证明. 变式训练2 (1)计算:C410-C37A33. (2)证明:C0n +C1n+1+C2n+2+…+Cm-1n+m-1= Cm-1n+m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 136 第4章　计数原理　　　　　　　 简单的组合问题 [例3] 在一次数学竞