2.6.1 直线与圆的位置关系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

第2章　平面解析几何初步　　　　　　　 2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.6.1 直线与圆的位置关系 [课标解读]能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. [素养目标]水平一:1.结合教材实例了解直线与圆的位置关系.（数学抽象）2.会解决关于直线与圆的位置关系的 问题.（数学运算） 水平二:会解决直线与圆相切、弦长等相关的问题，能利用直线与圆的位置关系解决简单的应用性问 题.（数学运算） 直线与圆的位置关系 平面上的任意一条直线l与圆有三种位置 关系: (1)相交,直线与圆恰有 公共点; (2)相切,直线与圆恰有 公共点; (3)相离,直线与圆 公共点. 直线与圆的位置关系判断 1.几何法 设圆的半径为r,圆心C 到直线l的距离为 d则 (1)直线与圆相交 ⇔ ; (2)直线与圆相切 ⇔ ; (3)直线与圆相离 ⇔ . 2.代数法 将直线l的方程与圆的方程联立,得方程组 Ax+By+C=0, x2+y2+Dx+Ey+F=0, 解此方程组看是 否有公共解,进而通过解的个数判断直线与圆 的位置关系. 一、答一答 1.如何选择判断直线与圆的位置关系的方法? 2.“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关 系,各有什么优势? 3.过一点作圆的切线一定有两条吗? 二、练一练 1.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置 关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交且过圆心 2.设直线l过点P(-2,0),且与圆x2+y2=1相 切,则直线l的斜率是 . 3.直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A, B 两点,则|AB|= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 069 直线与圆的位置关系 [例1] 已知圆x2+y2=8,定点P(4,0), 问过点P 的直线(斜率存在)的斜率为多少时, 这条直线与已知圆:(1)相切;(2)相交;(3) 相离. 学生试答: 　　 直线与圆的位置关系的两种判断方法中，若直 线与圆的方程已知或圆心到直线的距离易求，则用 几何法较简单；若直线或圆的方程中含有参数，且 求解圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单. 注意应用几何法时需将圆的一般方程化为标准方程. 变式训练1 已知直线l:x+y-1=0和 圆C:x2+y2-4x+2=0,判断直线l与圆C的 位置关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 弦长问题 [例2] 求直线l:3x+y-6=0被圆C: x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 学生试答: 　　求弦长的两种方法 求解直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下 两种. (1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成 直角三角形，所以利用勾股定理d2+ l 2 2 =r2 求 解，这是常用解法. (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交 点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入弦长公式求 解.此解法较烦琐，一般不用. 变式训练2 (1)过点G(0,1)的直线与圆 x2+y2=4相交于A,B 两点,则|AB|的最小 值为 ( ) A.2 B.23 C.3 D.25 (2)过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+ 4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 070 第2章　平面解析几何初步　　　　　　　 圆的切线问题 [例3] 已知圆C 的圆心在直线2x-y- 2=0上,且与直线l:3x+4y-28=0相切于点 P(4,4). (1)求圆C 的方程; (2)求过点Q(6,-15)与圆C 相切的直线 方程. 学生试答: 　　1.求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方