2.5.2 圆的一般方程(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

2.5.2 圆的一般方程 [课标解读]回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程. [素养目标]水平一:1.结合教材实例了解二元二次方程与圆的一般方程的关系.（数学抽象）2.会求圆的一般方程. （数学运算） 水平二:能利用圆的一般方程解决相关的问题，会求简单的动点的轨迹方程.（数学运算） 圆的一般方程 1.将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+ E2-4F >0)叫作圆的一般方程. 2.与圆的标准方程比较,可知 (1)当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+ Dx+Ey+F=0表示以点 - D 2 ,- E 2 为圆心, 以1 2 D 2+E2-4F 为半径的圆; (2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+ Dx +Ey +F =0只有一个解,表示一个点 - D 2 ,- E 2 ; (3)当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+ Dx+Ey+F=0无实数解,不表示任何图形. 说明:圆的标准方程明确指出了圆心和半 径,而圆的一般方程表明了方程形式上的特点. 提醒:要给出圆的标准方程,需要确定圆心 坐标和半径;而要给出圆的一般方程,则需要确 定一般方程中的三个系数D,E,F. 一、答一答 1.若圆心是原点,则圆的一般方程应为怎样的 形式? 2.若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ Ey+F=0表示圆,需满足什么条件? 3.圆的标准方程与一般方程的区别和联系是 什么? 二、练一练 1.若方程x2+y2-axy-4y+1=0表示圆,则 a等于 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.圆x2+y2+4x-6y+1=0的圆心坐标为 ( ) A.(-2,-3) B.(2,-3) C.(2,3) D.(-2,3) 3.圆x2+y2-6x=0的半径等于 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 066 第2章　平面解析几何初步　　　　　　　 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 [例1] 下列方程是否表示圆,若表示圆, 写出圆心坐标和半径. (1)2x2+y2-7y+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2+x+2=0; (4)x2+y2-x=0. 学生试答: 　　 判断二元二次方程是否表示圆的方法 判断二元二次方程是否表示圆时，一般先看这 个方程是否具备特征“x2,y2 项的系数相等且不为 零，不含xy项”，当它具备上述特征时，再看它能 否表示圆，此时有两种途径：一是看D2+E2-4F 是否大于零；二是将方程配方变形为圆的标准方程 的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数. 变式训练1 下列方程各表示什么图形? 若表示圆,求出其圆心和半径. (1)x2+y2+x+1=0; (2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0); (3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用圆的条件求参数取值范围 [例2] (1)若方程a2x2 +(a+2)y2 + 2ax+a=0表示圆,则a的值为 ( ) A.1或-2 B.2或-1 C.-1 D.2 (2)若方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a- 1=0表示圆,则a的取值范围是 . 学生试答: 　　 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方 程,判定其是否表示圆时的两种方法 (1)由圆的一般方程的定义，D2+E2-4F >0 成立则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征 求解. 　　 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式，若不是， 则要化为这种形式再求解. 变式训练2 (1)当m 是什么实数时,关于 x,y 的方程(2m2 +m -1)x2 + (m2 -m + 2)y2+m+2=0表示一个圆? (2)已知点O(0,0)在圆x2+y2+kx + 2ky+2k2+k-1=0外,求k的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋