1.4 数学归纳法(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(湘教版)

第1章　数列　　　　　　　 3.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1= 4×3n-1,则S2 022= . 4.数列1,11+2 , 1 1+2+3 ,… 的前n 项和Sn = . 5.在等差数列{an}中,已知a2=3,S4=16. (1)求{an}的通项公式; (2)令bn =an +2 an,求{bn}的前n项和Tn. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 *1.4 数学归纳法 [课标解读]了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. [素养目标]水平一:1.借助教材实例了解数学归纳法的原理.（数学抽象）2.能用数学归纳法证明一些简单的数学 命题.（逻辑推理） 水平二:能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题.（数学运算、逻辑推理） 数学归纳法的概念 在证明一个与正整数有关的命题时,可采 用下面两个步骤: (1)证明n=n0(n0∈N+)时命题成立; (2)假设n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成 立,证明n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以知道:对任何 从n0 开始的 ,命题成立 .这种证明方 法叫作数学归纳法. 一、答一答 1.数学归纳法证明的第一步中n的初始值n0 只 能是1吗? 举例说明. 2.数学归纳法证明中,在验证了n=1时命题正 确,假定n=k时命题正确,此时k的取值范围 是什么? 3.数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系? 二、练一练 1.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为 1 2n (n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0 2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= 1-an+2 1-a (a≠1,n∈N+),在验证n=1时,等 式左边是 . 3.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+ (2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 033 用数学归纳法证明等式 [例1] 用数学归纳法证明: 22+42+62+…+(2n)2= 2 3n (n+1)(2n+ 1)(n∈N+). 学生试答: 　　 应用数学归纳法时应注意的问题 (1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是 n=1，有时需验证n=2,n=3，甚至需要验证n= 10，如证明：对足够大的正整数n，有2n>n3，就需 要验证n=10时不等式成立. (2)n=k+1时式子的项数，特别是寻找n=k与 n=k+1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错. 因此对n=k与n=k+1这两个关系式的正确分析是 应用数学归纳法成功证明问题的保障. 　　(3)“假设n=k(k≥n0，k∈N+)时命题成立， 利用这一假设证明n=k+1时命题成立”，这是应用 数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的 证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明 就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤 写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性. 变式训练1 求证:1- 1 2+ 1 3- 1 4+ …+ 1 2n-1- 1 2n= 1 n+1+ 1 n+2+ … + 1 2n (n ∈ N+). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用数学归纳法证明几何问题 [例2] 平面内有n(n∈N+,n≥2)条直 线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一 点,求证:交点的个数f(n)= n(n-1) 2 . 学生试答: 　　 在几何问题中，常有与正整数n有关的几何证 明，其中有交点个数、对角线条数、内角和、将平面 分成若干部分等问题，利用数学归纳法证明时，关 键是“找增量”，即几何元素从k变成k+1时，所证 的几何量将增加多少个.解题时可以先用f(k+1)- f(k)得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明. 变式训练2 在平面内有n(n≥2且n∈ N+)条直线,其中每两条直线相交于一点,并且