第11讲 函数的奇偶性-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第11讲 函数的奇偶性 1．了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性； 2．会用定义判断函数的奇偶性； 3．会依据函数的奇偶性进行简单的应用。 一、函数奇偶性的定义 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。 偶函数的性质：，可避免讨论． 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、定义法判断函数奇偶性 判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 四、利用函数奇偶性求分段函数解析式的步骤 第一步：设出所求区间上的任意； 第二步：将所求区间内的转化到已知区间内； 第三步：利用函数奇偶性的定义得出所求区间的解析式。 五、利用函数奇偶性求参数值得方法 1、如果定义函参数，由定义域关于原点对称列等式求解； 2、如果解析式含参数 （1）通过偶函数的定义或奇函数的定义列等式求解； （2）通过代入定义域内的特殊值列等式求解； （3）对于在处有定义的奇函数，利用求解。 考点一：判断函数的奇偶性 例1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】函数的奇偶性是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式训练2】对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 考点二：利用奇偶性求函数值 例2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A．1 B．－1 C．5 D．－5 【变式训练】已知是上的偶函数，当时，，则（ ） A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6 考点三： 利用奇偶性求参数 例3．已知函数为偶函数，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】若函数为奇函数，则__． 考点四： 利用奇偶性求解析式 例4．已知为偶函数，当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【变式训练】已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________． 1．函数的图像关于（ ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线対称 2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中是偶函数的是（ ） A．， B． C． D．， 4．已知偶函数，当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 5．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ） A．，b＝0 B． C． D．， 6．若函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D．1 7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式是_______． 8．已知函数其中a，b为常数，若求 _________. 9．定义在R上的奇函数，当时，（k为常数），则______． 10．函数是定义在上的偶函数,则__． 1．下列函数中，是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 2．己知是定义在上的奇函数，且，则的