1.1.2 空间向量的数量积运算（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算（导学案） 学习目标 (1) 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． (2) 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． (3) 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． (4) 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 重点难点 重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律。 难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用。 课前预习 自主梳理 要点一　研究空间向量数量积运算 类比平面向量的数量积运算完成表格. 平面 空间（学生填空） 夹角 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,. 特例:当时,则. 数量积 两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即数量积. 特例:. 要点二　投影 1.空间向量向向量投影得到的投影向量c的表示： ; 2. 思考：类似于向量向向量投影，如何定义并画出空间向量向直线投影； 3. 思考：定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处. 要点三　 空间向量的数量积满的运算律 ( ， ； (交换律)； (分配律)． ) 自主检测 1.设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 2. 棱长为的正四面体中，则等于（    ） A． B． C． D． 3. 在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 （一）新知导入 环节一 创设情境 引入课题 (回顾旧知，类比得到空间向量数量积的概念) 问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？ 想一想，在学习平面向量的数量积时，我们都学习了哪些内容，是怎么学习的.请同学们类比平面向量的数量积运算研究空间向量数量积运算，小组合作完成表格. 平面 空间（学生填空） 夹角 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,. 特例:当时,则. 数量积 两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即数量积. ． 特例:. 环节二 观察分析感知概念 借助几何直观，揭示空间向量投影概念的本质 问题2：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况. 问题3：下面我们分情况展开空间向量投影的研究.如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？ 如图1.1-11(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(图1.1-11(2))． 追问 : 你能用向量,向量表示出投影向量吗? 追问：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗？ 追问：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处. 如图1.1-11(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 空间向量的数量积满足如下的运算律： ，；(交换律)；(分配律)． 环节三 抽象概括 形成概念 推广运算律，理解向量运算律与数的运算律的差异 问题4：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？ 追问：你能证明这些运算律吗？ 问题5：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？ 追问：对三个不为0的数,有,也就是说，