第04讲 利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019必修第二册）

第04讲 利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类 学会利用几何法求空间角及空间距离． 1、异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 注：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 2、直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 3、二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB． (3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 4、点到平面的距离 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离） 结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短. 1、求异面直线所成的角的方法和步骤 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． (2)求异面直线所成角一般步骤：一作、二证、三求 ①平移：经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，作出异面直线所成的角． ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角． ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2、求直线与平面所成的角的方法和步骤 （1）垂线法求线面角： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）. （2）平移法求线面角 是指利用图形平移变换的性质，构造满足求解的条件，进而得出结论的方法.在运用平移法求解线面角问题时，我们可以利用图象平移的性质：图形移动位置后其大小、形状、面积等都不改变，将分散的条件关联起来，以便将立体几何问题转化为平面几何问题来求解. （3）等体积法求线面角 通过换底求体积求出斜线上一点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦值，如图,已知平面α与斜线AP,PO⊥α,则P0线面角为∠PAO,，要求线面角，关键是求垂线段PO的长度，而垂线段PO的长度可看作点P到平面α的距离，在平面α内找一个三角形(点A是其中一个顶点)与点P构成三棱锥，在三棱锥中借助等体积法就可以求PO的长度，从而达到简便求解线面角的目的. 3、求二面角的平面角的方法和步骤 （1）求二面角大小的步骤是： ①作：找出这个平面角； ②证：证明这个角是二面角的平面角； ③求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． （2）确定二面角的平面角的方法 ①定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． 如：“三线合一型”、“全等型” ②三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 ③等体积法 利用三棱锥等体积法求出点A到平面PBC的距离d，如图，点A到二面角A-PB-C的棱 PB 的距离为h（即△PAB中PB边上的高），则二面角 A-PB-C的正弦值为. ③垂面法（空间一点垂面法） 过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 ④射影面积法 已知平面内的平面图形的面积为，它在平面内的射影的面积为，设平面与平面所成二面角的平面角为，则当时，;当时，. 4、求解点面距的方法和步骤 （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 考点一：直接平移法求异面直线所成的角 例1．（2023春·广东广州·高一广州