专题07 基本不等式Ⅰ-基本不等式的定义和简单应用-【高中第一步】2023年暑假初升高数学完美衔接精品课（人教A版2019）

【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019） 专题07 基本不等式Ⅰ-基本不等式的定义和简单应用 考点目录 考点一 对基本不等式的理解及简单应用 考点二 利用基本不等式比较大小 考点三 利用基本不等式求最值 考点四 利用基本不等式证明不等式 考点五 基本不等式在实际问题中的应用 1.掌握基本不等式 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题． 一、重要不等式 ，有，当且仅当时，等号成立. 二、基本不等式 如果，，则，当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注：应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 三、利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 四、与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有，当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有，当且仅当时，等号成立. （3）当时，有，当且仅当时，等号成立. 五、利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 考点一：对基本不等式的理解及简单应用 例1：（多选题）（2023春·四川宜宾·高一四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】AB 【分析】利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D 【详解】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确； ，因为，所以，B正确； ，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误； 当时，，D错误.故选:AB 考点二：利用基本不等式比较大小 例2：（单选题）（2023·高一课时练习）若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式的性质比较大小即可. 【详解】由题知：，且，所以，，故排除D. 因为，故排除A.因为，故排除C.故选：B 考点三：利用基本不等式求最值 例3：（单选题）（2023秋·天津南开·高一崇化中学校考期末）已知正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】正数满足， 由基本不等式得：，解得：， 当且仅当，即时，等号成立，的最大值为。故选：A 考点四：利用基本不等式证明不等式 例4：（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）（1）已知x，y，z都是正数，求证：； （2）已知x，y为正实数，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用基本不等式，得到，和，进而可证明成立； （2）令，化简得，进而利用基本不等式，可求出的最小值. 【详解】（1）x，y，z都是正数，故，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 所以，，当且仅当时，等号成立. （2）令，则，因为x，y为正实数，故， ， 当且仅当，即，即当时，等号成立，故的最小值为. 考点五：基本不等式在实际问题中的应用 例5：（单选题）（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）某工厂过去的年产量为，技术革新后，第一年的年产量增长率为，第二年的年产量增长率为，这两年的年产量平均增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意可知：，即， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即，故选：B. 考点一：对基本不等式的理解及简单应用 一、单选题 1．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．2 2．（2023·山东临沂·高一校考期末）函数的最大值是（    ） A．6 B．16 C．18 D．24 3．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 二、多选题 4．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（    ）