2.1 等式性质与不等式性质-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 重点和雅点 课标要求 重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异 通过本节的学习，掌握不等式的性质，加深对等 难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究 式和不等式的共性与差异的理解，加深对“代数性 不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异 质”的认识，提高提出问题和解决问题的能力 真口01-必备知识梳理-。 基础梳理 知识点1不等式的概念 1.不等式的定义 用不等号(>，<，≥，≤，≠)表示不等关系的式子叫作不等 式.如x2+x<6. 2.严格不等式与非严格不等式 (1)用“>”或“<”连接的不等式叫作严格不等式. (2)用“≥”或“≤”连接的不等式叫作非严格不等式. 3.不等式的分类 在两个不等式中，如果每一个不等式的左边都大于右边，或 每一个不等式的左边都小于右边，这样的两个不等式叫作 同向不等式.如a>b,c>d. 在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一 个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫作异向不等式 如a>b,c<d. 知识点2不等式的性质 别名 性质内容 特别提醒 性质1 对称性 a>lel<u 可逆 性质2 传递性 a>b,b>→a>c 同向 性质3 可加性 a>ba+e>b+c 可逆 性质3 移项法则 a-b>ca>c-b 可逆 的推论 53 国避食手细高中数学必修第一册尺A 续表 别名 性质内容 特别提醒 ab →ac>b c>0/ 性质4 可乘性 c的符号 a>b →acb c<0/ 性质5 同向可加性 ab 同向 c>d a+c>b+d 同向同正 性质6 a>b>0 →uc>bd 同向同正 可乘性 c>d>0 性质7 a>b>0→a">b 可乘方性 (n∈N,n≥2) a,b同为正数 性质8 a>b>0→Wa>b 可开方性 (n∈N,n≥2) 性质9 可倒性 a>h111 a,b同号 国难拓展 重难点1比较两个实数大小的常用方法 比较两个实数的大小，基本方法有作差法、作商法、乘方法！ P拓视野 作差法 作商法 乘方法 1.介值比较法 a>0,b>0, a<0.h0, (1)介值比较法的理论根据： a>b=a-b>0, a>若>1， <若>1， 若a>b,b>c,则a>c,其 a2>且a>0. 依据 a==a-b=0. 中b是a与c的中介值. b>0→a>b a<bea-<0 a=始=L (2)介值比较法的关键是 a<b< >号< 通过不等式的恰当放缩，找出 应用 多项式、分式、根式或同号的两个数比较大小或指数要比较的两个数 一个比较合适的中介值， 范周对数式之间的比较 式之间比较大小 (式)中有根号 (3)适用范围：要证a>c, (1)作差： (1)作商： (1)乘方： (2)变形： (2)变形： 直接用作差法、作商法和乘方法 步骤 (3)判断差的符号： (2)用作差法或 (3)判断商值与1的大小关系： 等不易证出，而此时存在b,且 (4)下结论 (4)下结论 作商法 易证a>b,b>c,则得出结论 例D已知u,6为正实致：试比较号+名与，后+的大小 (4)介值比较法是较“高 瑞”的比较大小的方法。 点拨注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小 2.利用作差比较可得到 新方法-（作差法）（号十治）-(a+D)-(后网)十 如下不等式成立： a,bm都为正实数，且a>b, 会@-+2-a0-6=6+面 期牛mb 'a十ma ① ab ab 54 第二童一元二次函教、方程和不等式底组 a,b为正实数， a,b,m都为正实数，且db, ∴vNa+vb>0,ab>0,(a-√b)2≥0， 则士m<h a十ma ② :a-ba+D≥0，即4+b>a+瓜. a,b,m都为正实数，且 ab a<b.a>m. b+4 方法二（作商法】 a6_b+(a3_a+(a+b√a) 则8阳号 ③ a+√b√ab(Wa+√B) abwa+√b】 a,b,m,n都为正实数，且 _atb-Yab_(Ja-b)+Vab_1+Ca-lb)>1. a<b.n<m. √ab ab √ab 号”公兴 ④ a+60,两边同乘a+6,+>a+瓜. a,b,m,n都为正实数，且 方法三（乘方法） 信+-++8v.6a+ a>>b.n<m: b 则士”a十m ⑤ =a+b+2Yab, b+1b十m 号+)'-(a+-a+- a,b,c,d都为正实数，且 ab bd a c :a>0,6>0,a+ba-b)2≥0. ab 则什d4 ⑥ “a+cc (+)≥a+6 又g+6>0va+v0,故g+>a+6. b a b va 口02-关建能边提升。 题型方法 ②错误.当a=-1,b=一2，c=0,d=2时 题型1利用不等式的性质比较大小和证明 满足条件，但0