1.5 全称量词与存在量词-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

国雕点手细高中数学必修第-册尺A 1.5 全称量词与存在量词 重点和难点 课标要求 重点：全称量词和存在量词的意义：使用存在量词对全称 通过本节的学习，学生要在理解全称量词与存 量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题 在量词的意义的基础上，正确地使用存在量词对全 进行否定 称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命 难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假，正确地 题进行否定，认识到全称量词命题的否定是存在量词 写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命 命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律 题的否定 01必备知识梳理一。 基出梳理 知识点1全称量词与全称量词命题 园敲黑板 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称 1,全称量词所表示的数量 量词，并用符号“”表示 可能是有限的，也可能是无限 全称量词命题：含有全称量词的命题，叫作全称量词命题 的.如“所有的属于集合A (1,3)或集合B=2,4}的元素 符号语言：通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x), 构成了集合AUB=1,2,3, 表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中 4}”,其中全称量词“所有的”只 任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为Hx∈M,p(x). 含有4个元素：“所有的属于集 [注意]全称量词命题就是陈述某集合所有元素都县有某种 合A={x一1≤x≤1}或集合 性质的命题，有些命题省去全称量词，但仍为全称量词命题.如 B={x1≤x≤3}的元素构成 “正方形都是矩形”省去了全称量词“所有的” 了集合AUB={x|一1≤x 3}”,其中“所有的”是指集合 知识点2存在量词与存在量词命题 (x-1≤≤3)中的无数个数. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作 2.一个全称量词命题通 存在量词，用符号“3”表示。 常可以有多种不同的等价叙 存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题 述方式，例如，命题“对任意的 符号语言：存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立” 实数x,x是非负数”可以叙 述为“对所有的（或对任意一 可用符号简记为3x∈M,p(x). 个，或对每一个)实数x,x是 [注意](1)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个” 非负数” “对某些”“有的”等， 3.一个全称量词命题可 (2)含有存在量词“存在”“有一个”等，或虽没有写出存在量 以包含多个变量.例如，对任 词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题，都是存在量词 意x∈R,y∈R,都有(x十 命题 y)(x-y)>0. 40 第一章集合与常用逻辑用语收出9 (3)同一个全称量词命题、存在量词命题，由于自然语言的不 同，可以有不同的表述方法.现列表总结如下： 烈 全称量词命题 存在量词命题 “Hx∈M,p(.x)” “3x∈M,p(x)” ①对所有的x∈M,p(x)成立 ①存在x∈M,使p(,x)成立 ②对一切的x∈M,p(x)成立 ②至少有一个x∈M,使(x)成立 ③对每一个x∈M,p(x)成立 ③对有些x∈M,p(x)成立 法 ④任选一个x∈M,p(.x)成立 ④对某个x∈M,p(.x)成立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立 ⑤有一个x∈M,使p(x)成立 国敲黑板 重难拓展 全称命题：Hx∈M,p(x) 重难点1含有一个量词命题的否定 的否定为：3x∈M,Tp(x). 命题 Vx∈M,p(x) ]x∈M,p(x) 这里的研究对象的集合M不 命题的否定 3x∈M,p(.x) Hx∈M,p(.x) 变，只是把“V”玫成“3” 全称量词命题的否定是存在 存在量词命题的否定是全称 例如：Hx∈{x1<x< 结论 量词命题 量词命题 3),x2-5x十4>0的否定是： 注：通常，我们用符号“一p(x)”表示“p(x)不成立” 3x∈{x|1<x<3},x2 例1写出下列命题的否定， 5.x十4≤0，而不是：3x氏{x (1)Hx∈R,2x+40.(2)3x,y∈N,2x+y=10. 1<x3},.x2-5.x+4≤0. 解析(1)这是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题， 里记方法 即3x∈R,2.x十4<0. 写全称量词命题与存在 (2)这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题， 量词命题的否定的思路 即Hx,y∈N,2x十y≠10. 在写全称量词命题与存 例2写出下列命题的否定. 在量词命题的否定时，一定要 (1)所有的矩形都是平行四边形. 抓住决定命题性质的量词，从 (2)有些实数的绝对值是正数。 量词入手来写命题的否定，全 称量词命题的否定是存在量 点拨(1)是全称量词命题，(2)是存在量词命题. 词命题，存在量词命题的否定 解析(1)的否定是：存在一个矩形不是平行四边