1.2 集合间的基本关系-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语么9 1.2集合间的基本关系 重点和难点 课标要求 重点：集合间包含与相等的含义，用集合语言表达 通过本节的学习，学生能掌提集合之间的包含关系与 数学对象或数学内容 相等关系，能识别给定集合的子集，了解空集的含义，初步 难点：对相似概念及符号的理解，例如区别元素与 学会用三种语言（自然语言、符号语言，图形语言）表达数学 集合，属于与包含等概念及其符号表示， 研究对象，并能进行转换， 口01-必备知识梳理。 基础梳理 知识点1Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (I)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩 形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 (2)用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，即 直观地表示集合间的关系：缺，点是集合中元素的公共特征不明显 例如，如图1.2-1所示，可用Venn图表示下列集合之间的关 系：A={xx是平行四边形}，B={xx是菱形)，C={xx是矩 形}，D={xx是正方形. A B (D C 图1.2-1 知识点2子集的概念及其性质 1.子集的概念 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中的任意一个元素 自然语言 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 符号语言 对任意元素x∈A,必有x∈B,记作A二B(或B口A),读作 “A包含于B”(或“B包含A”) 图形语言 或 4(B 11 国避食手细高中数学必修第一册RA 2.子集的性质 2记方法词 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A二A 证明或判断集合相等的方法 (2)对于集合A,B,C,如果A二B,且B二C,那么A二C(传递性). 1.若ACB,且BCA,则 知识点3集合的相等 A=B:反之，若A=B,则A 般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同 B,且B二A.这就给出了证明 时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.那么集合A与集 两个集合相等的方法，即欲证 合B相等，记作A=B.也就是说，若A二B,且B二A,则A=B. A=B,只需证ACB与B三A 均成立 知识点4真子集的概念及其性质 2.判断两个集合相等，可 1.真子集的概念 把握两个原则： 自然 如果集合A是集合B的子集，且在集合B中至少存在一个元素不 (1)两集合A,B均为有 语言 是集合A的元素，我们称集合A是集合B的真子集 限集，若两集合的元素个效相 同，对应元素分别相同，则两 如果集合A二B,但存在元素x∈B,且x任A,就称集合A是集合B 集合相等，即A=B. 符号 的真子集，记作AB(或B早A),读作“A真包含于B”(或“B真包 语言 (2)两集合A,B均是无 含A”) 限集，只需看两集合的代表元 素满足的条件是否一致，若一 图形 致，则两集合相等，即A=B 语言 园作较 2.真子集的性质 子集与真子集的区别 对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC(传递性). 当A二B时，允许A=B 3.两集合间的关系 或AB成立：当AB时， 两个集合A,B之间的关系如下： A=B不成立.所以若A二B, A=B→ACB且BCA, ACB 则A至B不一定成立.如集合 A≠B→A至B, A={0,1},B={1,0}.则A是 A生B. B的子集，记为A二B,但A 4.集合间的基本关系与实数的大小关系的类比 不是B的真子集，即A手B不 实数 集合 成立 a≤b包含两层含义：a=b或 定义 a<b A二B包含两层含义：A=B或AB 相等若a≤b,ba,则a=b 若A二B,B二A.则A=B 若a≤b,b≤c,则a≤c 若A二B,B二C,则A三C 性 若a<b,bc,则a<d 若AB,BC,则AC 因此，对于集合的关系符号的含义，可类比实数的大小关系 符号“=，≤，<”来记忆理解. 12 第一章集合与常用逻辑用语收出9 知识点5空集 1.空集的概念 不含任何元素的集合叫作空集，记为☑ 2.空集的特征 (1)空集只有一个子集，即它本身，☑二⑦. (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即若 A≠0，则☑军A. 3.0与0、{0}、{必}之间的关系 0与0 ☑与0】 0与{0 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 ☑是集合：0是实 0不含任何元素：0不含任何元素：{0}含 不同点 数 {0}含一个元素0 个元素，该元素是心 关系 0氏0 0年{01 ☑年{0或0∈{0) 重难拓展 重难点1子集、真子集个数的确定 (1)当一个集合的元素个数较少时，我们可以一一列举出全 部子集，从而求出子集与真子集的个数.注意不要漏掉空集， (2)当一个集合的元素个数比较多时，一一列举子集不太现 实，对于其子集的个数有如下结论： 若一个集合中含有n个元素，则该集合的子集有2"个.原因 是集合中的每个元素都可以有选