5.7 三角函数的应用-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

国雕点手细高中数学必修第-册尺A 5.7三角函数的应用 重点和难点 课标要求 1.了解生活中的周期现象与三角函效的联系。 重难点：用三角函数模型解决一些县有周期变化 2.理解三角函数模型在实际问题中的应用。 规律的实际问题。 3.能利用基本函数的图象研究其他函数. 01必备知识梳理一。 基础梳理 知识点1y=Asin(ax十p)中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都 与y一Asin(x十o)有关.其中，A为振幅，它表示做简谐运动的 物体离开平衡位置的最大距离：而T=红为周期，它表示做简谐 运动的物体往复运动一次所需的时间：简谐运动的频率则为∫一 子会它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次 数：x十g称为相位，当x=0时的相位为p,称为初相. 1.若A<0或w<0,9就不是初相，此时应先利用诱导公式将 x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相， 如函数y=一sim(2x一)的初相不是g=一受 :A=-1<0,y=-sim(2x-5）=sim[x+(2x-5)] sm(2x+》,∴初相p=经 2.简记图象变换步骤 (I)函数y=sinx到y=sin(x十e)的图象变换称为相位 变换。 (2)函数y=sinx到y=sin or的图象变换称为周期变换. (3)函数y=sinx到y=Asin z的图象变换称为振幅变换， 因此，函数y=sinx到y=Asin(x十p)的图象的变换途径 为相位变换→周期变换→振幅变换（或周期变换→相位变换→振 幅变换). 340 第五章三角函教么 知识点2运用三角函数模型解决实际问题 1.求解三角函数应用题的一般步骤 刀记方法 (1)审题：理解题意，认真领悟文字语言和图形语言中的数学 1.一般常用函数y 本质，分清已知与未知，画出示意图。 Asin(ox十p)十b来刻画实际 问题 (2)建模：根据审题所得到的信息，把实际问题抽象成数学问 2.解决三角函数的实际 题，根据已知条件与求解目标，建立一个数学模型，如三角函数 问题时，要注意： 式，三角不等式或三角方程等， (1)自变量的取值范固. (3)求解：利用所学三角函数的知识，求得数学模型的解 (2)数形结合思想的运用. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实 (3)认真审题，进行联想， 际问题的解 选择适当的三角函数模型， (5)还原：将所得结论返回，转译成实际问题的答案 (4)涉及较复杂的数据 解题思路如下： 时，计算要精确 现实中的数据收集、分析。三角函数 3.实际问题的背景往往 实际问题 简化、抽象 祺型 比较复杂，需要综合多门学科 回 数 的知识才能完成.因此，建立 葬 三角函数模型时，一定要结合 相关学科的知识，从复杂的背 实标问题 检验 角函数 的解 模型的解 景中将基本的数学关系抽取 2.三角函数的常见应用类型 出来 (1)三角函数在物理简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始， 因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. (2)三角函数在实际生活中的圆周运动问题中的应用， 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟 这种运动状态 (3)三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用， 如大海中的潮汐现象、日常生活中气温的变化、季节的更替 等都具有周期性，因此也常常用三角函数来模拟这种运动状态」 重难拓展 重难点1函数拟合获得模型的方法 1.拟合模型的构建 拟合模型的构建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析 和选择恰当的数学表达式而得到的.它的实质是数据拟合的精度 和数学表达式简化程度之间的一种折中，折中方案的选择取决于 实际问题的需要。 341 国雕手册高中数学必修第一册？A 2.拟合模型的主要类型 (1)经验模型：模型主要讨论变量间的内在规律，允许出现一 定的误差.经验模型侧重于选择规律简单的数学表达式，在简单 的数学表达式中选择拟合效果较好的模型， (2)插值模型：模型以拟合效果为主，要求精确地拟合观测数 据，即在观测点之间插入适当的数值 3.拟合步骤 (1)根据原始数据和表格，绘出散点图 (2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直 线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关 系式 (4)利用函数关系式，根据题意对所给问题进行预测和控制， 以便为决策和管理提供依据，最终解决问题。 例①某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市 初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出 现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f(x)一 pq:②fx)=pr2+qr+1:③f(x)=Asim(至x-平）+B(以上 三式中，q,A,B均为常数.) (1)为准确研究其价格走势，应