5.5.2 简单的三角恒等变换-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第五章三角函教么组 5.5.2简单的三角恒等变换 重点和难点 课标要求 重难点：认识三角恒等变换的特点， 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦，余弦、正 并能解决一些三角恒等变换 切公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公 的问题 式，但这三组公式不要求记忆). 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1半角公式 1.半角公式 P拓视野 1-cos a L半角正切公式： 2 sin号 1+cos a: 0s号 2 1-cos a 2sin号cos号 tam号±1+cos 2c02号 2.半角公式的推导 sin a =1cosa ② (1)cos 2a=1-2sin'a 代替么c0sa=1一2sin2号→ 号代替a an号= sin号=士、 1-cos a o号 2 （2cos2a=20sa-12代#么cos&=2o2号-1一 2sir号 受代特。 2sin号os号 _1-cos a; ② sin a cos 1+cos a 1-cos a sin 2.半角正切公式①②中 (3)tan a 1-cos a 2 cos 2 1++cos a' an号的符号由sima确定，进 3,确定半角的正弦、余弦、正切公式前符号的原则 免了符号的讨论，使用起来很 方便 (1)若给出的角是某一象限的角时，要根据下表确定符号。 3.①②③公式的适用范围： a 号 sn号 c0s号 tan受 ①a≠(2k+1)π(k∈Z): ②a≠kr(k∈Z): 第一象限 第一、三象限 十、一 ③a≠(2k+1)x(k∈Z). 313 国避食手细高中数学必修第一册RA 续表 4.若已知co5a的值.求 受 n号 os号 tan号 an号的值可直接应用公式③， 5.重视得到结果的过程 第二象限 第一、三象限 十、一 十、 从思考：与号之间的关系入 第三象限 第二、四象限 十、一 一、十 手，理解角的倍、半的相对性，思 第四象限 第二、四象限 十， 一、十 考c0sa与sm号之间的关系。 (2)若给出角α的范围（即某一区间）时，可先求出号的范围， 6.使用公式时要深刻体 会a与号的含义，如2a与a: 然后再根据号所在的范围来确定符号。 十士等都可看成倍，半 (3)如果没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两 关系 个符号 重难拓展 重难点1积化和差公式 园记方法园 cos acos B=- Lcos(w+g)+cos(-8)]; L.记忆口决：前角用和后 sin asin-一 2[cos(a+B)-cos(a-8)]; 角差，正余二分正弦和，余正 二分正弦差，余余二分余弦 sin acos B- sn(a++sin(a-g]: 和，正正二分余弦差。 2.任意两角的正弦、余弦 cos asin sin(a-sin( 的积都可化为土[a十趴 例①求值：sin75°cos15°= 士f(a一)]的形式，若两角的 解折原式=[sin(75+15)+sin(75°-15)刀 画数名同为正弦或余弦，则 “”表示余弦：若两角的函数 =号sn90+sin60）=2+ 名一个为正弦一个为余弦，则 4 “∫”表示正弦 2十4 例☑求值：sin20°cos70°+sin10sin50°= 星折原式=2(sin90°-sin50)-2(cocs60°-c0s40) =}如0+7os40 =}7n50+2sim50= 314 第五章三角函教收组 例B已知sm(计吾)sm(0-）=易则an0的值为 里缸“sim(+看）sin(0-吾）-贵 .-os(0+晋+0-吾)-os(+若-计君)]-0 即cos29-2)-费cos20=一多 又cos20= 1-tan20 1+tan20 路 ,∴.tan0=±2. 5 [答案士2. 重难息2和差化积公式 sin asin B-2sin acosa C08 2 sina-simg=2cosa+ aB 2 cosa+cos B-2cosos 2 -cos- 2 cos a-cos B--2sin B -sin- 2 2 例4(2023·沈阳模拟)有下列关系式： Dsin 50++sin 30=2sin 80cos 20; 2cos 30-cos 50=-2sin 40sin 0: ⑧sn39-n02os4纸s: 4sin 50+cos 30=2sin 40cos 0: [cos(r-y)-cos(+y)]-sin asin y. 其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析右边的角应是5030=40与50,30=0，故①不正确： 2 右边应是2sin40sin0,故②不正确；③的右边应是一2cos40sin0, 故③不正确：①的左边不是同名函数，不能直接用和差化积的公 式，应先用诱导公式化为同名三角函数后再