5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

国避手圆高中数学必修第一册RU/A 5.5三角恒等变换 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 重点和难点 课标要求 重点：利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式：两 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能 角和与差的三角函数的其他公式及其内在联系， 灵活运用。 难点：发现两角和（差）的三角函数与圆的旋转对称性间 2.掌握二倍角的正弦，余弦、正切公式。 的联系 3.掌握公式的变形，并能运用 口-01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1两角差的余弦公式 冒敲黑板 1.两角差的余弦公式 1.公式中的a,B都是任 意角，既可以是一个角，也可 对于任意角a,3,有 以是几个角的组合。 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B. (CaD） 2若。或B是经(k∈刀 的形式，则可以直接利用三角 此公式给出了任意角a,3的正弦、余弦值与其差角α一3的余 函数的诱导公式进行计算. 弦值之间的关系，称为差角的余弦公式.简记作C。· 3.一般情况下，cos(a3)≠ cos a-cos B. 2.公式记忆要点 4.要掌握公式的逆用，如 右端为α，3的同名三角函数积的和，左端为两角差的余弦. cos(a十3)cos3+sin(a+3)· sin B-cos [(a+)-B]=cos a. 知识点2两角和的余弦公式 1.公式推导 冒敲黑板 在公式C。中，用一3替换公式中的B,则有 1.公式不但要会正用，还 要会逆用，例如cos(a十B): cos(a+B)=cos[a-(-B)] cos(a-B)-sin(a+B)sin(a- =cos acos(-B)+sin asin(-B) 3)=cos[(a十B)+(a一3)]= cos 2a. =cos acos B-sin asin B. 2.两角和与差的余弦公 于是，得到了两角和的余弦公式 式可以记忆为“余余正正，符 号相反” cos(a+B)=cos acos B-sin asin B. (Ca+】 (1)“余余正正”表示展开 2.公式记忆要点 后的两项分别为两角的余弦 乘余弦，正弦乘正孩. 右端为α，3的同名三角函数积的差，左端为两角和的余弦. (2)“符号相反”表示展开 300 第五童三角函教么组 知识点3两角和与差的正弦公式 后两项之间的连接符号与展 开前两角之间的符号相反，即 1.公式推导 两角和时用“一”，两角差时用 由诱导公式及两角和与差的余弦公式可得 “十” (3)两角和与两角差的余 sin(a十=cos5-(a十B】 弦公式只有中间的连接符号 不同. =cos[(5-a)-月 3.要熟记一些特殊角的 三角函数值，以便在运用公式 =cos2-a)cos sin(受-a)s小in月 计算时使用 4.一般情况下，cos(a十3)≠ =sin acos B+cos asin B, c0sa十0x3. sin(a-8)-cos[2-(a-B)] 回敲黑板 =cos[(臣-a)+月 1.公式S。的推导，也 可用一B替换公式S+n中的 =cos(5--a)cos月-sin(3-ajs小in月 B得到. =sin acos B-cos asin B. 2.公式中的a,3均为任 意角 即 sin(a+B)=sin acos B+cos asin B. (Sa+m） 3.公式C。a)和S士m中 sin(a-B)=sin acos B-cos asin B. (S。-m) 的a,B是任意角，若a,B中有 2.公式的记忆要点 一个是5的整数倍，则利用诱 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同” 导公式较为简便 ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、 4.一般情况下，sin(a士)≠ 余弦乘正弦； sina士sinR ②“符号相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两 角之间的符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“一”： ③两角和与两角差的正弦公式只有中间的连接符号不同. 知识点4两角和与差的正切公式 1.两角和与差的正切公式及其条件 同敲黑板 由sin(a士3)=sin acos3士cos asin3及cos(a士3)=cos acos3干 1.两角和与差的正切公 sin asin3即得 式中，a,3,a十3，a一3均不等 sin(a3) tan(a十3)= cos(a+B) 于kx十(k∈D,这是由正 sin a cos B+cos a sin B 切函效的定义域决定的。 cos a cos B-sin asin B (Ta+D） 2.当tana,tan3,tan(a十 tana十tanf 3)[或tan(a-3)]中任一个的 1-tan atan B' 值不存在时，不能使用两角和 301 国雕手细高中数学必修第一册尺A 其中，a,B及a十B均