5.4 三角函数的图象与性质-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第五章三角函教么 5.4三角函数的图象与性质 重点和难点 课标要求 L.了解正弦函数，余弦函数的图象 重点：正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期 2理解正弦函数，余弦函数的性质 性、奇偶性、单调性、最值和值域)：研究函数图象与性质 3.了解正切函数的图象与性质， 的一般思路和方法。 4.掌握三角函数的奇偶性、单调性、周期 难点：正弦函数的作图：周期函数，（最小正）周期的意义 性，最值等的讨论与求解 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1正弦函数的图象 用“五点法”作y=sinx,x∈[0,2π]的简图. 卫提个醒 在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上有五点起决定作用，它 作正弦函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图象时，其中起关 们分别是0,0，（受1，，0.受-1小(2x,0 键作用的是函数y=sinr, 描出这关键的五点后，其图象的形状基本上就确定了， x∈[0,2π]与x轴的交点，最 高点和最低，点这五个，点，利用 因此，在对精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个点， “五，点法”作图时，只要描出这 然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函 五个点，在x轴上方的两点间 数图象的简图，这种方法叫作“五点法” 曲线向上凸，在x轴下方的两 根据终边相同的角的正弦值相等，将函数y=sinx,x∈[0,2π 点间曲线向下凹，就可快速作 的图象向左、右两边平移，每次平移2π个单位长度，得到函数y 出曲线。 sinx,x∈R的图象.函数y=sinx,x∈R的图象叫作正弦曲线. 图象如图5.4-1所示. =gin上，x∈R 目敲黑板 图5.4-1 1.正弦函数图象的作法： 知识点2余弦函数的图象 描点法、几何法、五点法，余孩 用“五点法”作y=cosx,x∈[0,2π]的简图. 函数也适用。 在函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的五个点 2.熟记正弦函数、余弦西 是它与x轴的交点、函数图象的最高点和最低点，它们的坐标依 数图象中起关键作用的五个 283 国避食手细高中教学必修第一册UA 次为(0,1)，（受，0），(，-1).(0，(2x,1).用光滑的曲线将它 点，注意两者的不同 3.一般地，要得到y= 们连接起来，就得到余弦函数在[0,2π]上的简图. f(x士a)(a>0)的图象，只需 重难拓展 将函数y=f(x)的图象向左 或向右平移：个单位长度即 重难点」 正弦函数和余弦函数的性质 可(“左加右减”) 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 2刘重点7 1,若函数的定义战不是 R,则一定要在给定区间内结 图象 2 合单调性求其值域与最值， 2.利用函数y=sinx和 y=cosx的值战和最值，可以 定义域 R R 求出由它们复合而成的函数 值域 [-1,1] [-1.1] 的值域和最值 3.正弦曲线、余弦曲线的 在 +2m,+2xk∈ 对称轴方程一定分别过正孩 在[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)上是 曲线，余弦曲线的最高或最低 单 上是增函数：在 3+ 增函数： 点，即此时的正弦值、余弦值 性 受+2kx 2 在[2kx,(2k十1)π](k∈Z)上是 取最大值或最小值 2kπ(k∈Z)上是减函数 减函数 4.正弦曲线、余弦曲线的 对称中心一定分别是正弦曲 线、余弦曲线与x轴的交点， 当x=受+2xeD时，m=l: 当x=2kπ(k∈Z)时，yx=1: 即此时的正弦值、余弦值为0. 最值 当x=一十2kx(k∈ZD时，yn 当x=(2k+1)x(k∈Z)时，m 5.判断正弦函数、余弦西 数的奇偶性，关键是确定f(x) -1 与f(一x)的关系，但筒提是其 定义域必须关于原，点对称 奇偶性 奇函数 偶函数 对称 (kx,0),k∈Z 国敲黑板 中心 (km+受，0）k∈Z 1.周期函数的定义是对 对称轴 x=kx+变，keZ x=kx,k∈Z 定义城中的每一个值来说的。 1.正弦函数与余弦函数的周期性 如果只有个别的x值满足 (1)周期函数的定义 f(x+T)=f(x),T是不能称 般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数 为f(x)的周期的. T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(),那么 2.从等式来看，自变量x 本身所加的非零常数才是周 函数∫(x)就叫作周期函数.非零常数T叫作这个函数的周期。 (2)最小正周期 期.如+T)=f(2小 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， T不是周期，而应写成2十T) 那么这个最小的正数就叫作∫(x)的最小正周期.如正弦函数的 最小正周期是2元 =f2x+2T)=f(2) 284 第五章三角函教收组 正弦函数y=sinx和余弦函数y=cos,x的最小正周期T=2元 即