5.3 诱导公式-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

第五章三角函教么组 5.3诱导公式 重点和难点 课标要求 重点：利用围的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单 L理解诱导公式二至六， 三角函数式的求值、化简与恒等式的证明. 2.了解诱导公式的作用. 难点：发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系。 3.能利用诱导公式化简、求值 01必备知识梳理 基础梳理 知识点1 诱导公式二、三、四 1.角的对称 冒敲黑板 (1)角π十aα的终边与角a的终边关于原点对称. 1.公式二至公式四中的 角a是任意角，如sin[π十 (2)角π一α的终边与角a的终边关于y轴对称. (2x-3)]=-sin(2x-3). (3)角一a的终边与角a的终边关于x轴对称. 2.公式是利用孤度制表 (4)角罗一a的终边与角a的终边关于直线y=x对称。 示的，也可以用角度制表示. 3.由公式三可推出正弦 2.诱导公式二、三、四的推导 函数y=sinx(x∈R)是奇函 (1)诱导公式二 数，余孩函数y=Osx(x∈R) 是偶函数，正切函数y一tanx 如图5.3-1，在单位圆上，角a的终边与单位圆交于点P(x,y), 角π十α的终边与角a的终边关于原点对称，故角π十a的终边交 x≠m十艺，b∈Z是奇函数 单位圆于点P'(一x,一y).由三角函数的定义得 sin a=y,cos a=x,tan a=y sin(π十a)=-y, cos(r十a)=-x, tan(x十a)=y 从而得到诱导公式二： sin(π十a)=-sin& cos(π十a)=- cos a tan(π+a)=tana. 273 国雕点手高中数学必修第-册尺UA y P(r.y) 十 P(-zy) 图5.3-1 图5.3-2 (2)诱导公式三 如图5.3-2，角a的终边与角一α的终边关于x轴对称，故在 单位圆上，设P(x,y),则P(x,一y). 由三角函数的定义得 sin(-a)=-y.cos(-a)=z,tan(-a)=- 从而得到诱导公式三： sin(-a)=-sin a, cos(-a)=cos a, tan(-a)=-tan a. (3)诱导公式四 由诱导公式二和诱导公式三，得 sin(-a)=sin [(-a)]=-sin(-a)=sin a, cos(-a)=cos [(-a)]=-cos(-a)=-cos a, tan(π-a)=tan[π+(-a)]=tan(-a)=-tana. 从而得到诱导公式四： sin(-a)=sin a, cos(r-a)=一cosa, tan(x-a)=-tan a. 鱼难拓展 重难点1诱导公式五、六 1诱导公式五、六的推导 刀划重点 如图5.3-3，设角α的终边与单位圆的交点P的坐标为 1,公式五和公式六实现 (x,y),由于角-a的终边与角a的终边关于直线y=x对称， 了正弦函数与余弦函数的相 互转化 角受一Q的终边与单位圆的交点P:与点P,关于直线y=x对称， 2.公式五实际上是直角 三角形中两锐角三角函数间 因此点P2的坐标是(y,x).于是，我们有sina=y,cosa=x, 的相互转化的推广， cos (2-a)=y,sin (-a)=z. 3.从公式五和公式六还 274 第五章三角函散蓝组 可以推出以下结论： -a (1)sin (+ a P A(1.0) =cos(年-x =os(x-T） 图5.3-3 从而得到诱导公式五： (2)cos(x+) cos(受-a）=sina =sin(年-x) sn(经-a=cosa 又sin(受+a)=sim[x-(受-a小=sin(受-a)=cosa, 同理可得cos(受十a)-一sina 于是得到诱导公式六： sin (+a)=cos a, os(+ajF-sina 2.利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式： sin暨-a)=-cosa,os竖-a)--sina. sina)--cos a.cos+a)-sin a. 3.诱导公式大全 函数 角 正弦 余弦 正切 余切 a十k·2元 sina cos a tan a cot a r十a 一sin& 一c0sa tan a cot a -a -sin a cos a 一tana -cot a r一a sin a -cos a 一tana -cot a 吾+a cos a -sin a -cot a -tan a -a cos a sin a cot a tan a + -cos a sin a -cot a -tan a 。 -cos a -sin a cot a tan a 275 国避食手细高中数学必修第一册RA 例国化简：1+cos(受-a)sin(受十a)tan(x-a) 解折原式=1十sin acos(-tana)=1--sin acosa·如g=1- cos a